2.7 简单拉压超静定问题

2.7.1 超静定的概念及解法

前面所讨论的杆件，其轴力（或约束反力）可由相应的静力平衡方程直接求得，因为未知量的个数恰好等于独立平衡方程的数目，这类问题称为静定问题（statically determinate problem）。例如，图2-24（a）中的约束反力，图2-24（b）中杆1、杆2的轴力均可直接由静力平衡方程求得，属于静定问题。

在实际工程中，为了提高构件的强度和刚度，或为了构造上的需要，会适当增加约束。例如，在图2-24（a）所示杆的自由端增加刚性约束，如图2-24（c）所示；或在图2-24（b）所示的结构中增加弹性杆 3，如图 2-24（f）所示。这种约束称为多余约束，其相应的约束反力为多余约束力。多余约束会使构件未知约束反力数目增加，多于独立的平衡方程数目，因此不能仅凭静力平衡方程求解所有未知力。这类问题称为超静定问题（statically indeterminate problem），相应的结构称为超静定结构（statically indeterminate structure）。未知力数目与独立的平衡方程数目之差，即多余约束力数目，称为超静定次数。如图2-24（c）和图2-24（e）所示的超静定问题，其受力分别如图2-24（d）和图2-24（f）所示，均为一次超静定问题。

由于超静定问题的未知力数目多于独立的平衡方程数目，因此若想求解全部未知力，势必要建立与超静定次数相同的补充方程。

对于超静定结构，由于多余约束的限制，各杆受力后不能随意变形，必须与所受约束相适应，因此各杆之间的变形必须相互协调，保持一定的变形几何关系，该几何关系式称为变形协调方程（compatibility equation）（也称为变形几何方程）。将补充的变形协调方程和静力平衡方程联立求解，就可以解得全部未知力。下面以图2-24（c）所示的一次超静定问题为例，介绍简单超静定问题的求解方法，其中设杆件的几何尺寸l、a、b和抗拉刚度EA均已知。

解法一：

（1） 静力平衡关系 杆件受力如图2-24（d）所示，由仅有的一个独立平衡方程ΣFy = 0，得

该方程有两个未知力FRA和FRB，无法求解，还需建立一个补充方程。

（2） 变形协调关系 由于两端约束的存在，杆件受力变形后，其总长度不发生变化，这就意味着AC段的伸长量Δl1与BC段的压缩量Δl2相等，由此可得变形协调方程：

（3） 内力-变形关系 由变形与轴力的关系式（2-20），得

将式（c）代入式（b），可得

联立式（a）和式（d）求解得两端约束反力FRA和FRB为

结果为正号，说明图2-24（d）所示的FRA和FRB的指向即为杆件受力的真实方向。求得约束反力后，即可进行轴力、应力、强度等的计算。

上述求解超静定问题的方法，以约束反力为未知量进行求解，称为力法。同样的问题也可以以位移为未知量进行求解，称为位移法。

解法二：设载荷F作用的截面发生向下的位移Δl。

（1） 变形协调关系 由于杆件受力变形后总长度不发生变化，所以 AC 段伸长Δl，BC 段缩短Δl。

（2） 内力-变形关系 由变形与轴力的关系式（2-20）得A和B两端的约束反力（如图2-24（d）所示）分别为

（3） 静力平衡关系 由平衡方程ΣFy = 0，得

将式（a）代入式（b），解得

将式（c）代入式（a）即可得到约束反力FRA和FRB，进而计算轴力、应力、强度等。

由上可见，无论是力法还是位移法，均需要同时考虑：① 静力平衡关系（包括外力之间及外力与内力之间的平衡）；② 变形几何关系（即变形协调方程）；③ 内力-变形关系（包含了物理方程的变形与内力之间的关系）三个方面，才能求得问题的全部解答。

如例题图2-9（a）所示的结构，若横梁AB为刚性梁，杆1、杆2截面抗拉压刚度的关系为E2A2 = 5E1A1，试求力F作用端B的铅垂位移。

分析：由例题图2-9（b）所示的横梁AB的受力图可知，作用于其上的未知力共有4个：FAx、FAy、FN1和FN2，而该平面一般力系只有3个独立的平衡方程，因此属于一次超静定问题。这里采用位移法求解，设B端在力作用下产生向下的铅垂位移YB。

解：

（1） 变形协调关系。由横梁AB的受力如例题图2-9（b）所示，设杆1受拉，杆2受压。结构的变形几何关系如例题图2-9（c）所示，杆1、杆2的变形量ΔL1、ΔL2与B端的铅垂位移YB （=BB′）存在如下关系：

（2） 内力-变形关系。由变形与轴力的关系式（2-20），得杆1、2的轴力分别为

（3） 静力平衡关系。以例题图2-9（b）所示横梁AB为研究对象，建立平衡方程

ΣMA = 0， FN1sin 30°×2a+FN2sin 45°×a−F×3a=0

将式（c）和式（d）代入上式，可解得B端的铅垂位移为

讨论：由上述例题的分析过程可知，在超静定结构中，杆件的内力与各杆的刚度有关，结构中任一杆刚度的改变都会引起所有杆件内力的重新调整，这是超静定结构与静定结构的重要区别之一。

2.7.2 温度应力和装配应力

实际工程中，结构会因温度变化产生伸长或缩短。静定结构由于可以自由变形，所以温度均匀变化时不会引起构件的内力。但对超静定结构，由于多余约束的存在，温度变化引起的变形将受到阻碍，结构内将因此引起内力和应力。这种由于温度变化引起的应力，称为温度应力。

如图2-25（a）所示，杆AB两端A、B均为刚性约束。设装配后杆的温度升高了ΔT，若杆为如图2-25（b）所示的静定杆，则将自由伸长，伸长量为

式中，α为材料的线膨胀系数。但实际上两端的刚性约束限制了其自由伸长，所以约束端将对杆施加作用力FRA和FRB，从而引起杆件的内力和应力，如图2-25（c）所示。由平衡方程得

一个方程不能确定两个未知力，所以对该一次超静定问题,需要补充一个变形协调方程。考虑到升温后杆件保持原长不变，所以杆件由于温度升高而产生的伸长量ΔlT（如图2-25（b）所示），应等于两端压力FRA和FRB作用下杆的压缩量ΔlP（如图2-25（c）所示），即

由变形与轴力的关系式（2-20），得

联立式（2-23）、式（b）和式（c），得

F RB =EAαΔT

由此，得温度应力为

温度应力有时会很大，工程中往往采取一些措施避免过高的温度应力，如管道中增加伸缩节，或钢轨之间留有伸缩缝。

如例题图2-10（a）所示，两杆均为钢杆, E = 200 GPa，α = 12.5 × 10−6/℃。两杆横截面面积均为A = 10 cm2。若BC杆温度降低20℃，而BD杆温度不变。求两杆的内力。

分析：杆BC温度降低将引起其缩短，但点B的约束限制了竖向位移，所以杆内将产生内力。同时点B水平位移将导致杆BD变形并产生内力。由例题图2-10（b）所示的节点B的受力图可知，作用于该点的未知力共有3个：FRB、FN1和FN2，而该平面汇交力系只有2个独立的平衡方程，因此属于一次超静定问题。

解：

（1） 静力平衡关系。由点B沿水平方向的平衡，得

（2） 变形协调关系。设杆BC由于温度降低和轴力FN1（拉力）共同作用产生的缩短为Δl1 = BB1，杆BD由于轴力FN2（压力）产生的缩短为ΔL2 = BB2。根据变形后的几何关系（如例题图2-10 （c）所示），得

（3） 内力-变形关系。由式（2-20）和式（2-23）得温度降低和拉力FN1共同作用下，杆BC的缩短量为

在压力FN2作用下，杆BD的压缩量为

将式（c）和式（d）代入式（b），并与式（a）联立得

FN1=30.3 kN, FN2=26.6 kN

构件加工制造过程中的误差是难免的。对于静定结构，这种加工误差除了引起结构的微小变形外，不会引起内力。但对于超静定结构，则会引起内力。如图2-26（a）所示的杆AB，由于制造误差，使杆件比设计值长了δ，若将该杆安装成如图2-26（b）所示两端为刚性支承的结构，则杆 AB 必须缩短δ，从而势必在杆件内部引起轴力和应力，这种应力称为装配应力。

求解上述结构装配应力的方法与一般的超静定问题相同，完全可以仿照上面求解图2-25所示结构温度应力的过程，只要以δ替换温度改变引起的伸长量ΔlT=αΔT⋅l，即可求得装配应力为

如例题图2-11（a）所示，杆1、杆2、杆3的面积均为A = 2 cm2, 长度l = 1 m，弹性模量E =200 GPa，若制造时杆3短了δ = 0.08 cm。试计算刚性横梁ACB安装后1、2、3杆的内力。

分析：将短了δ的杆3与刚性横梁ACB连接后，杆3将伸长并产生内力，为了保持刚性横梁AB不变形，杆1和杆2必然要做相应的伸长和缩短，从而在杆内产生内力。由例题图2-11（b）所示的刚性横梁ACB的受力图可知，作用于其上的未知力共有3个：FN1、FN2和FN3，而该平行力系只有2个独立的平衡方程，因此属于一次超静定问题。

解：

（1） 静力平衡关系。刚性横梁ACB的受力如例题图2-11 （b）所示，由平衡方程得

（2） 变形协调关系。设杆1和杆3的伸长量分别为Δl1为Δl3，杆2的压缩量为Δl2。由于刚性横梁ACB在装配后（A′C′B′）仍为直线，如例题图2-11（c）所示。由几何关系得

（3） 内力-变形关系。由式（2-23）得轴力作用下，杆1、杆2、杆3的变形量分别为

将式（d）代入式（c），并与式（a）、式（b）联立得