1.2.2 场点性质

引入标量场的等值面簇，矢量场的通量和环量，能够形象、直观地描述空间区域中场的总体分布，是一种整体性的了解。这种描述方法往往不能揭示任意点场的物理特性，不能反映场在该点邻域内的空间变化规律，有必要对某点的场做局部性的了解。例如，点电荷的静电场可以引入一簇等位球面来描述，在同一等位面上，任何点都不变化，只有穿过不同等位面才产生空间变化；高斯定理和安培环路定理分别建立了电场强度和磁感应强度的总通量和总环量与总电荷和总电流的关系，在包围源量的区域内，不管源的分布状况有何变化，只要满足总源量不变，就不会影响总通量和总环量之值，因此完全无法反映区域内任意点因源分布变化导致的场的空间变化情况。为了揭示有限区域内任一点场的物理特性，可以采用取极限的方法，将范围缩小至该点，分别考查标量场在该点穿过不同等位面沿任意方向变化的标量场线密度及矢量场在该点的通量体密度和环量面密度，进而定义出描述某点标量场的梯度及矢量场的散度和旋度。由于这些密度函数描述了场在某点的空间变化率，需要引入微分形式来表示，又由于某些密度函数与方向有关，常引入矢量微分来表示。由此可知，所谓场的场点性质，是指场在某点的空间变化率。由于限于某一点，通常采用微分形式来表述，所以场的场点性质又称为微分性质。场点描述法，不仅可以表示场的局部变化规律，而且因为矢量微分的引入，矢量分析这一有用的数学工具由此得到充分应用，有利于在实际应用中对场进行分析和计算。

1.标量场的梯度

为了考查标量场中某点在其邻域内沿各个方向的变化规律，需要引入方向导数和梯度的定义。如图1.18所示，设点P0为标量场u（P）中的一点，自点P0引出一条射线l，点P是l上

的动点，它到点P0的距离为Δl。当点P沿l趋近于点P0时，比值的极限定义为标量场u（P）在点P0处沿l方向的方向导数，记为

由定义可知，标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上对距离的变化率。

在直角坐标系中，可以分解为三个投影分量，如图1.19所示。根据复合函数求导法则，有

若射线l对坐标的方向余弦为cosα，cosβ和cosγ，由几何关系知=cosα，=cosβ和=cosγ，则得方向导数的直角表达式

在标量场中，从给定点出发有无限多个方向，而且在不同方向的变化率往往不同。那么，沿哪个方向变化率最大？其最大变化率又是多少？由于方向导数的不确定性，无法回答这些问题，为此可以引入梯度的定义。显然，在无限多个方向中，必定存在一个具有最大变化率的方向导数。由于它具有确定方向，应当用矢量表示梯度。

标量场在某点的梯度是一个矢量，其大小为具有最大变化率的方向导数，其方向为变化率最大的方向。设标量场u在点P变化率最大时的方向导数为（∂u/∂l）max，该变化率最大的方向用单位矢量al表示，引入记号grad表示u的梯度，则梯度定义式记为

在图1.20中，考虑直角坐标系中两矢量al和G m的点积。其中，al为任意方向射线l上的单位矢量，Gm为与u有关的固定矢量，表示为

由式（1.38）可得

讨论：

（1）当矢量l旋向矢量G m时，（G m，al）=0，（）m ax=|G m|是G m的模，标量场u有最大变化率，Gm就是标量场u的梯度，由式（1.39c）知，梯度在直角坐标系中的表达式为

（2）当矢量l旋至与矢量G m垂直时，（G m，al）=，（）m in=0，标量场u在垂直于矢量Gm的方向无变化，是等值面所在位置。

标量场u中点P处场量的方向导数、梯度和等值面间的关系，如图1.21所示。看出，梯度具有如下特性：

（1）标量场u的梯度gradu是一个矢量场，称为梯度场；

（2）标量场u在给定点P沿l方向的方向导数等于梯度在该方向上的投影（如图1.20所示）；

（3）梯度方向的方向导数（）max=|Gm|为正值，梯度总是指向标量函数u增大最快的方向；

（4）标量场u在点P的梯度垂直于过该点的等值面，即在等值面的法线方向，标量场变化最快。

以高楼建筑为例，它处于垂直向下的地球引力场中，等势面平行于地面，其量值向上递增，如图1.22所示。要到达高层建筑物，若沿楼梯上去，其陡度由沿梯格方向的方向导数来表示；若沿电梯垂直上楼，陡度最大，标量势具有最大变化率，其陡度由沿电梯上升方向的梯度来表示。梯度Gm与引力Fg等值反向。

在矢量分析中，常引入矢性微分算符“▽”（读作“del”或“Nabla”），以简化分析和计算。在直角坐标系中

将之作用于标量场u，可得

当矢性微分算符▽作用于标量或矢量函数时，它同时具有矢量性和微分性。显然，梯度是表示标量场在某点的空间变化率，且在特定方向有最大值。在数学上，我们自然会想到采用矢量空间导数（三维）来表示，而▽正好是这样的运算符号。其中，三维空间导数表示空间变化率，矢量表示方向。需要指出，当函数置于▽之前时，▽就只能作为矢量参与函数的运算。

【例1.1】 已知R为场点P（x，y，z）与源点P′（x′，y′，z′）的距离，▽和▽′分别表示对场点和源点求导，如图1.23所示。计算▽（）和▽′（）之值，并表示出它们间的关系。

解：

点P和点P′的位置矢量为

则

对场点和源点求导的算符为

将

代入式（1.42），得

式中

对y，z求导可得类似关系式，故有

同理，对x′，y′和z′做类似微分运算时，必须反号，故得

由此可知

【例1.2】 如图1.24所示，已知点电荷q在场点P的电位为

求Φ的梯度，并讨论E和Φ的关系。

解：

按上例的结果，可知

又因为该点电荷产生的电场强度为

因此，有

图1.24中场点P处的梯度方向指向等位球面之值增加的方向，而电场强度则指向径向方向，刚好等值反向，故上式中出现负号。

2.矢量场的散度和旋度

矢量场穿过闭曲面的通量是一个积分量，它无法反映场域内各点处通量源的分布情况。当通量ψ=0时，既可表示闭曲面无通量源，也可表示同时存在等值的正、负通量源，因此无法判断闭曲面内是否有通量源。如果要考查任意点处的通量源特性，唯有采用取极限的方式，使计算通量的闭曲面缩小至该点，并相对于包围该点的体积来研究其通量体密度。

在矢量场F中的任一点P处作包围该点的任意闭曲面S，当S所界定的体积ΔV以任意方式趋近于零时，若比值∮SF · dS/ΔV存在极限，则称其为矢量场F在点P处的散度，记为div F，即

式（1.43）表明，散度是一个标量，它可理解为通过单位体积闭曲面的通量，即通量体密度或通量源强度。因此，散度可用于描述矢量场中某点通量对体积的变化率。当F的散度不等于零时，F称为有源场（或有散场），其矢量线起于正通量源，止于负通量源。作为实例，我们将流体的速度场（令F=u）和静电场（令F=E）做个比较，如图1.25所示。若divF＞0，则该点有发出矢量线的正通量源（如喷泉水的流速线和正点电荷的电场线）；若divF＜0，则该点有汇聚矢量线的负通量源（如地漏水的流速线和负电荷的电场线）；若divF=0，则该点无通量源。

在直角坐标系中，可以证明

具体证明见参考文献[4]，[5]。

【例1.3】 已知点电荷q产生的电位移矢量为

式中，R=ax（x-x′）+ay（y-y′）+az（z-z′），R=|R|=。求D的散度，并讨论在R≠0和R=0处的物理意义。

解：

由D=axDx+ayDy+azDz知

同理，其y，z分量有类似表示式，只需将分子中的（x-x′）换为（y-y′）和（z-z′），故根据式（1.44）可知

在R≠0（r≠r′）处，场点和源点不重合，▽·D=0，表示源点外处处无电荷；在R=0（r=r′）处，场点和源点重合，表示D之值为无限大，无意义，所以▽·D也不存在。

矢量场的场点性质，要从两个侧面来描述。除了了解它的散度性质外，同时还应了解它的旋度性质。矢量场沿闭曲线的环量是一个积分量，它无法反映场域内各点处环量源的分布情况。如果要考查任意点环量源特性，可以采用分析通量源的思路，用取极限的方式，使计算环量的闭曲线缩小至该点，并相对于包围该点的曲面来研究其环量面密度。

在矢量场F中的任一点P处作包围该点所在有向曲面的闭曲线l，l的正方向与曲面的法向矢量an呈右旋关系，如图1.26所示。当l所界定的面积ΔS以任意方式趋近于零时，若比值∮lF ·dl/ΔS存在极限，则称其为矢量场F在点P处的环量面密度，记为

过点P可能存在着无数个方位的有向曲面，其相应的法线也有无数个方向，这表明γn与方向有关，作为标量的γn并不能反映环量源自身的值。γn之值可能从零至最大值间进行变化。事实上，当在某个方向的γn等于零时，并不能表明该点的环量源为零，由此判断，要真实反映场点P处环量源特性，必须引入与方向有关系的矢量函数来表示。γn与该矢量的关系，如同标量场中方向导数与梯度的投影关系。为了得到一个确定的值，我们规定能使γn取得最大值γmax时的方向为旋度的方向。假定用矢量函数Rm表示旋度，则有Rm=anγmax，式中an为环量面密度最大时有向曲面的法向单位矢量。因此，若引入符号rot（或curl）表示矢量场F的旋度，则旋度定义为Rm=rotF，记为

由图1.26看出，旋度与环量面密度具有如下投影关系

当（Rm，an）=0时，an与Rm重合，此时γmax=|Rm|，说明Rm指向环量面密度最大的方向。这表明，旋度是一个矢量，其大小为沿单位面积上的最大环量，即最大环量面密度，或最大环量源强度，其方向为曲面取向使环量最大时，该曲面的法线方向。因此，旋度可用于描述矢量场中某点环量对面积的最大变化率。当F的旋度不等于零时，F称为旋涡场（或有旋场），其矢量线为包围旋涡源的无头无尾的闭曲线，其绕行方向与旋涡源方向呈右旋关系。

作为实例，我们将流体的速度场和静磁场做个比较。流体速度场旋度的激励源是回旋力对流体做功所致。在现实生活中，有许多能体现旋度效应的实例。例如，轮船和直升飞机的螺旋桨，洗衣机的涡轮，它们都是气流和水流速度场旋度的激励源。在电影和电视画面上，常会出现美国龙卷风的惊险镜头，旋转上升的气流，足以掀翻高大建筑，拔掉大树，足见气流旋度场的威力。如果我们在瓢泼大雨中打伞，并快速旋转伞柄，就会发现下落的雨水有一部分沿伞缘切线方向飞出去，这也是水流速度的旋度场。再如，电动势使电流回路电流变化时场力所做的功，转化为因电流变化所激起的磁场能量，该磁场力线所形成的闭合回路方向与电流分布的取向呈右旋关系，变化电流就是引起磁场旋度的激励源。如图1.14所示，直流电流就是闭合磁力线所形成旋度场的激励源。一般情况下，电流形成体密度分布，磁场中的磁场强度B在点P处的旋度就是在该点的旋涡源密度J。

在直角坐标系中，可以证明

具体证明见参考文献[4]，[5]。

【例1.4】 求例1.3中电位移矢量D的旋度。

解：

已知

式中，，Dy和D z有类似形式，根据式（1.48），有

显然，上式要求满足在R≠0处的条件。结合例1.3可知，点电荷的电位移矢量在无源区（R≠0）这一特定条件下，是一个无散无旋场。