1.15 正态分布概率计算通式

张公绪教授主编的《质量专业工程师控制手册》[7]谈到了正态分布概率计算公式。对于任意实数a和b（a≤b），若随机变量X～N（μ, σ2），则有下列概率（面积）计算公式

需要说明的是，只要记住式1-8就可以计算正态分布各种情况下的概率。因为式1-9和式1-10都是式1-8的特例，因此作者将式1-8称为正态分布概率通用计算公式。例如

但是有一点，应熟知Φ（-∞）=0和Φ（∞）=1，这不需要记忆，只要把它们看成从-∞开始积分的面积，便很容易理解。

【例5】 对于X～N（4,22），计算P（-2≤X≤8）。

解：通过标准变换，可将X～N（4,22）变成U～N（0,12），见图1-6。

在上例对一般正态分布的概率计算过程中，只要将μ和σ代入通用公式P（a≤X≤b）=计算并查表，就可以计算出正态分布在任一区间内的概率。上述随机变量X标准化的过程是：随机变量X变为U，概率密度函数由p（x）变为φ（x），正态分布由N（4,22）变为N（0,1），积分区间由[ -2,8]变为[ -3,2]，但分布的概率（面积）不变。

【例6】 灯泡的使用寿命服从正态分布，对50个样本测试，均值为60天，标准差是20天，求多少灯泡在100天后仍能继续工作。

解：这是求灯泡使用超过100天的概率，即P（100≤X）。根据正态分布概率计算通式有

【例7】 某工厂生产的元器件的寿命（以小时计）服从正态分布，已知μ=160，若要求P（120≤X≤200）≥0.9，生产过程中应将标准差σ控制在多大的范围内？

即，亦即, σ≤24.24，故应将标准差控制在24.24以内。

【例8】 某厂生产的螺栓长度服从参数为μ=10.05, σ=0.06的正态分布。规定长度在10.05cm±0.12mm内为合格。求螺栓的缺陷率为多少？

解：合格区间为[9.93,10.17]，合格概率为

故缺陷率p=1-[2Φ（2）-1] =2-2Φ（2）=0.0455=4.55%

本章小结 本章简要介绍了数理统计的一些基本概念，包括总体与样本、正常波动与异常波动、计量值与计数值、均值与标准差以及通过样本推断总体的理论基础和一般方法。在介绍正态分布的基本概念、特点和性质的基础上，介绍了标准正态分布的基本概念和重要性质，一般正态分布为何要转化为标准正态分布以及如何转化等问题。此外，还重点介绍了正态分布概率计算通式及其应用。