4.4 特性1——过程能力指数对半特性

对称的概念几乎已渗透到所有学科领域。过程能力指数CP是在正态分布假设基础上定义的，而正态分布曲线具有中间高、两边低、两边延伸到无穷的特点，除此之外还具有对称性。所谓对称性就是指正态分布曲线中心μ赋予曲线两侧对称区间具有一一对应的特性，即两侧对称区间具有相同的属性值，合格率是其属性之一，过程能力指数这个概念尽管抽象，但也是对称区间的属性之一。

无偏时对半特性

在对称公差无偏情况下，见图4-5，假定过程的能力指数是Cp，由于μ=M，则Cp是通过中心线μ左右两侧的对称区间内的合格率对过程能力指数的贡献来实现的，即区间[TL, μ]内的合格率与区间[μ, TU]内的合格率共同完成对过程能力指数Cp的贡献过程。由于正态分布的对称性，左右两侧对称区间[TL, μ]和[μ, TU]内的合格率相同，所以两侧对称区间内的合格率对过程能力指数的贡献也相同。因此，区间[TL, μ]内的合格率与区间[μ, TU]内的合格率对过程能力指数的贡献都是Cp/2。图4-5中无偏情况下过程能力指数的对半特性就是过程能力指数可加性在n=2时的一个最好论据，它是无偏情况下过程能力指数可加性的一个典型特例。

图4-5 当μ=M时过程能力指数的对半特性（对称区域充满整个合格率区间）

在无偏情况下，当对称区域并非充满整个合格区间[TL, TU]时，见图4-6，由于以μ为中心的两个对称区间[TL+d, μ]和[μ, TU-d]内的合格率相同，所以它们对过程能力指数的贡献值也相同。当参数d变化时在合格区内能找到无数个以μ=M为中心的对称区域，但d必须满足d≥0且T-2d≥0，即0≤d≤T/2。

图4-6 当μ=M时过程能力指数的对半特性（对称区域并非充满整个合格率区间）

有偏时对半特性

当均值μ向右偏移ε时，见图4-7，在合格区内以μ为中心的最大的对称区域为[μ-T/2+ε, μ+T/2-ε]（由斜线拼成的阴影部分）。由于对称区间[μ-T/2+ε, μ]和[μ, μ+T/2-ε]内的合格率相同，所以它们对过程能力指数的贡献也相同。

图4-7 当μ≠M时过程能力指数的对半特性（对称区域充满整个合格率区间）

在图4-8中，由于以μ为中心的两个对称区间[μ-T/2 +d, μ]和[μ, μ+T/2-d]（由斜线拼成的阴影部分）内的合格率相同，所以它们对过程能力指数的贡献值也相同。随着变量d的变化，以μ为中心的对称区域[μ-T/2+d, μ+T/2-d]的宽度T-2d也发生变化。显然，d应满足d-ε≥0且T-2d≥0，即ε≤d≤T/2。当d=ε时，在合格区内最大的对称区域是[μ-T/2+ε, μ+T/2-ε]。

图4-8 当μ≠M时过程能力指数的对半特性（对称区域并非充满整个合格率区间）

由于图4-5既是图4-6当d=0时的特例，也是图4-7在ε=0时的一个特例，而且也是图4-8在d=0且ε=0时的一个特例；图4-6是图4-8在ε=0时的一个特例。图4-7是图4-8当d=ε时的特例。因此，图4-6和图4-8分别是无偏和有偏情况下研究过程能力指数的典型图例，且图4-8最具有代表性——既代表了无偏又代表了有偏。故无偏时过程能力指数对半特性是有偏时的特例。

综上所述，可得如下重要结论

特性1：过程能力指数对半特性——不论是无偏还是有偏，只要正态分布曲线分布中心μ两侧的对称区间在合格区间内（合格率相同），那么它们对过程能力指数的贡献相同。

这就是过程能力指数的对半特性，是正态分布对称性赋予过程能力指数的一个隐含特性。至此，作者根据正态分布的对称性发现并揭示了过程能力指数的对半特性。这一特性的发现为人们认识Cpk公式的错误提供了理论依据。

注意：以μ为中心的两个对称区间必须同时处于合格区间[TL, TU]内，否则即使是对称区间，也不能保证合格率相同，更不能谈过程能力指数的对半特性。

有专家称：“有偏时，用合格区内μ两侧的一部分对称的合格率来定出对半特性，而无视其全部不对称的合格率，对半特性否定了实际存在的另一部分合格率，是片面的。”作者认为，这种观点是极其错误的。如果在研究对半特性时连同不对称的那部分合格率一起考虑，就永远不会发现过程能力指数对半特性。正因为研究中紧紧抓住部分比较特殊的合格区域（以μ为中心的对称区域），才能利用对称性揭示过程能力指数的对半特性。但这并不意味着我们不去研究不对称的那部分合格率对过程能力指数的贡献，恰恰相反，正是因为对它们进行分段研究，才相继发现了过程能力指数可计量特性和过程能力指数零判据。