7.1 多元函数的基本概念
7.1.1 邻域区域
1.邻域
设P0（x0，y0）是xOy平面上的一个点，δ为正数，与点P0（x0，y0）距离小于δ的点P（x，y）的全体，称为点P0的δ邻域，记为U（P0，δ），即
从几何图形上看，U（P0，δ）就是以点P0（x0，y0）为中心、以δ为半径的圆内部的点P（x，y）的全体，如图7-1所示.类似地，可定义点P0的去心δ邻域
，即
图7-1
如果不需要强调邻域半径δ，则用U（P0）表示P0的某个邻域，点P0的某个去心邻域记作
.
2.区域
（1）内点和边界点.设E是平面上的一个点集，P是该平面上的一个点，如果存在点P的某一邻域U（P）⊂E，则称P为E的内点，如图7-2所示.
如果点P的任一邻域内既有属于E的点，又有不属于E的点，则称P为E的边界点，如图7-3所示.E的边界点的全体称为E的边界，记作∂E.
例如，点集
E1={（x，y）|1<x2+y2≤4}
的边界为x2+y2=1和x2+y2=4.
注意 E的内点必属于E；E的边界点可能属于E，也可能不属于E.
图7-2
图7-3
（2）开集和区域.如果点集E的点都是内点，则称E为开集；如果点集E的补集是开集，则称E为闭集.
例如，E2={（x，y）|1<x2+y2<4}为开集；
E3={（x，y）|1≤x2+y2≤4}为闭集.
如果对于点集D内任何两点，都可用一条完全属于D的折线连结起来，则称D是连通的.
连通的开集称为开区域，简称区域.例如，{（x，y）|1<x2+y2<4}为区域.
开区域连同它的边界一起称为闭区域.例如，{（x，y）|1≤x2+y2≤4}为闭区域.
设E为平面点集，如果存在正数M，使得对于E中的任意点P与某一定点A的距离不超过M，即|AP|≤M，则称E为有界点集，否则称E为无界点集.
例如，{（x，y）|1≤x2+y2≤4}是有界闭区域；{（x，y）|x+y>0}是无界开区域.
（3）n维空间.设n为一个自然数，我们称n元数组（x1，x2，…，xn）的全体为n维空间，记为Rn，而每个n元数组（x1，x2，…，xn）称为n维空间中的一个点，数xi称为该点的第i个坐标.
Rn中两点间距离公式：设P（x1，x2，…，xn），Q（y1，y2，…，yn）∈Rn，则
特别地，当n=1、2、3时，|PQ|分别为数轴、平面、空间中两点间的距离.
类似地，可定义n维空间Rn中的邻域、内点、边界点、区域等概念，如Rn中点P0的δ邻域为
U（P0，δ）={P||PP0|<δ，P∈Rn}.
7.1.2 二元函数的概念
1.定义
在实践中，我们常常遇到因变量依赖于多个自变量的情形.
【例1】 底半径为r，高为h的圆柱体的体积V的计算公式为
V=πr2h （r>0，h>0）.
其中，底半径r与高h是相互独立的两个自变量，当它们在r>0，h>0的范围内任意取定一对值后，体积V有唯一确定的值与之对应.
【例2】 一定量的理想气体的压强p与容器体积V，绝对温度T之间有以下关系：
其中，V与T是相互独立的两个自变量，当它们在V>0，T>0的范围内任意取定一对值后，压强p有唯一确定的值与之对应.
以上两例的具体意义虽不同，但它们在数学特征上却有明显的共性，我们将这种共性抽象成二元函数的概念.
定义7.1 设有变量x、y和z，如果当变量x、y在一定范围内任意取定一对值（x，y）时，变量z按照一定的法则f，总有唯一确定的数值与（x，y）对应，则称这个法则f为x、y的二元函数，记作
z=f（x，y） （或z=z（x，y））.
变量x、y称为自变量，而变量z称为因变量，自变量x、y的变化范围称为函数的定义域.
类似地，可定义三元及三元以上函数.二元及二元以上的函数统称为多元函数.
二元函数的定义域是xOy平面上的点集，三元函数的定义域是空间内的点集，四元及四元以上函数的定义域无几何意义.
【例3】 求函数f（x，y）=ln（x+y）的定义域.
解 当x+y>0时，函数有意义，所以函数的定义域为{（x，y）|x+y>0}，如图7-4所示.
【例4】 求f（x，y）=arcsin（3-x2-y2）的定义域.
解 由|3-x2-y2|≤1解得2≤x2+y2≤4，因此，f（x，y）的定义域为
D={（x，y）|2≤x2+y2≤4}.
如图7-5所示.
图7-4
2.图形
设函数z=f（x，y）的定义域为D，则对于D中每一点P（x，y），依照函数关系f，对应于空间R3中的点M（x，y，f（x，y））.当点P（x，y）在D中变动时，点M（x，y，f（x，y））就相应地在空间中变动，一般地，动点M（x，y，f（x，y））的轨迹是一个曲面（见图7-6），这个曲面称为二元函数的图形.
例如，由空间解析几何知，二元函数
z=1-x-y
的图形是一个平面，该平面在三坐标轴上的截距均为1.
又如，二元函数
表示的曲面是一个中心在原点，半径为a的上半球面.
图7-5
图7-6
7.1.3 二元函数的极限
现在讨论二元函数z=f（x，y），当（x，y）→（x0，y0），即P（x，y）→P0（x0，y0）时的极限，与一元函数的极限概念类似，如果在P（x，y）→P0（x0，y0）的过程中，对应的函数值f（x，y）无限接近于一个确定的常数A，就称A是二元函数z=f（x，y）当（x，y）→（x0，y0）时的极限.
下面用“ε-δ”语言描述这个概念.
定义7.2 设函数z=f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0）是f（x，y）的某个定义区域的内点或边界点.如果存在常数A，使得对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，只要D内的点P（x，y）适合不等式
对应的函数值f（x，y）都满足不等式
|f（x，y）-A|<ε，
则称A为函数f（x，y）当（x，y）→（x0，y0）时的极限，记作
也可记作 
.
其中，ρ=|PP0|，而定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.也称上述二元函数的极限为二重极限.
注意 二元函数极限定义与一元函数类似，因此二元函数有着与一元函数极限类似的性质及运算法则，如极限的四则运算法则、夹逼准则、无穷小的运算性质等.
【例5】 证明：
.
证明 方法一：当（x，y）≠（0，0）时，
又因为 
，
所以 
.
方法二：令ρ=x2+y2，则（x，y）→（0，0）时，ρ→0+，因此
【例6】 计算：
.
解 因为（x，y）≠（0，0）时，
而 
，
因此，由夹逼准则，得 
.
按照二元函数极限的定义，二元函数的极限存在是指：点P（x，y）以任意方式趋向于P0（x0，y0）时，函数值f（x，y）都趋向于同一个常数.由此可以得到确定二重极限
不存在的方法：
（1）选取P→P0的一种方式，通常取沿某条过P0的直线（或曲线）L趋向于P0，按此方式，
不存在；
（2）选取P→P0的两种不同的方式，通常取沿两条过P0的直线（或曲线）C1，C2趋向于P0的方式，使得
【例7】 讨论下列极限的存在性.
解 （1）设P（x，y）→O（0，0）的路径为x轴所在的直线，则
不存在，故 
不存在.
（2）取P（x，y）→O（0，0）的路径为x轴所在的直线，则有
取P（x，y）→O（0，0）的路径为直线y=x，则有
因此， 
不存在.
事实上，当点P（x，y）沿直线y=kx趋向于点O（0，0）时，有
该极限值随k的不同而不同，即当点P（x，y）沿着不同的直线y=kx趋向于点O（0，0）时，对应的函数值趋向于不同的常数，因此， 
不存在.
7.1.4 二元函数的连续性
定义7.3 设二元函数f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0）是D的内点或边界点，且P0∈D.如果
则称二元函数f（x，y）在点P0（x0，y0）处连续.
类似定义三元函数及三元以上的函数的连续性.
如果f（x，y）在点P0（x0，y0）处不连续，则称P0（x0，y0）是函数f（x，y）的间断点.
若函数f（x，y）在区域D内每一点都连续，则称f（x，y）在D内连续.
【例8】 讨论函数
在（0，0）处的连续性.
解 当（x，y）≠（0，0）时，
而 
，
因此，由夹逼准则得 
.
故函数f（x，y）在（0，0）处连续.
注意 一元函数中关于连续函数的运算法则，对于多元函数仍适用.
多元初等函数是指由常数、多个自变量及一元基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算，且可以用一个解析式表示的多元函数.
例如
，（x+y）+arctanln（1+x2y）等都是多元初等函数.
结论 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的.
【例9】 求极限 
.
以上运算的最后一步用到了二元函数
在点（0，0）处的连续性.
与闭区间上一元连续函数的性质类似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质：
性质7.1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域D上连续的多元函数，在D上必能取得它的最大值和最小值.
性质7.2（介值定理） 在有界闭区域D上连续的多元函数，必能取到介于函数最大值和最小值之间的任何值.
习题7-1
1.已知函数
，求f（2，1）和
.
2.已知函数f（u，v，w）=uw+wu+v，求f（x+y，x-y，xy）.
3.设
，求f（x，y）.
4.求下列函数的定义域，并绘出定义域的草图.
5.求下列极限：
6.证明
不存在.
7.讨论函数
的连续性.
8.描绘下列函数的图形：
（3）z=2-x2-y2； （4）z=xy.