第9章　数项级数

1设0＜a＜1，求．[重庆大学研、浙江师范大学2006研]

证明：令，则，两式相减可得

于是，故．

2设收敛，级数收敛，证明：收敛．[上海交通大学研]

证明：因为收敛，所以对任意的ε，存在N，有m、n＞N，不妨设m＞n，有．又因为收敛，对上述的ε，有

所以

从而由Cauchy收敛准则知收敛．

3若正项级数收敛，证明也收敛，但反之不然，试举例说明．[天津大学研]

证明：因为正项级数收敛，所以由正项级数收敛的必要性条件可得．由极限定义得对任意的ε=1，存在N，当n＞N时，有，从而当n＞N时，有．由比较判别法知收敛，则收敛，反之不成立．例如收敛，但不收敛．

4设恒正数列是严格单调递增且有界的，证明：级数收敛．[山东科技大学研]

证明：由于恒正数列是严格单调递增的，所以

．

因为是严格单调递增且有界的，所以数列的极限存在，从而收敛，故收敛．

5判断的收敛性，并给出证明．[北京大学研]

解：由等价无穷小量知

所以，而收敛，故收敛．

6设f（x）在[0，π]上二阶连续可微，f(0)=f（π）=0，

，

证明：收敛．[华南理工大学研]

证明：由分部积分可得

因为f″（x）在（0，π]上二阶连续可微，所以存在M＞0，使得|f″(x)|≤M，x∈[0，π]．于是

从而．又因为收敛，故收敛．

7设f（x）在[0，+∞）上连续，其零点为

．

证明：收敛收敛．[华中科技大学研]

证明：必要性．由于

又收敛，故由归结原则知收敛．

充分性．若收敛，则对任意的ε，存在N，当n＞N、p∈N时，有对任意的两点，令m、n＞N使得

，

则由f（x）在相邻的零点之间不变号可得

所以收敛．