10.3　名校考研真题详解

一、判断题

1．若f（x）恒正连续，且收敛，则必有（　  ）[上海交通大学研、浙江大学研、南京师范大学2006研]

【答案】错

【解析】举反例：利用反常积分概念，很明显可知满足题意，但是

二、解答题

581．如果广义积分（其中a是瑕点）收敛，那么收敛．并举例说明命题的逆不成立．[中国科学院研]

证明：由收敛，根据柯西准则，存在δ＞0，只要，

总有

利用定积分的绝对值不等式，又有

再由柯西收敛准则的充分性可知收敛．

命题的逆不成立，例如：

设，令，则而由狄利克雷法可以判定

是条件收敛的，从而可知收敛但不收敛．

596．积分是否收敛？是否绝对收敛？证明所述结论．[北京大学研]

解：

积分是以x＝0为瑕点的瑕积分，因为

所以与同阶，所以收敛．

而，所以绝对收敛，积分

是无穷积分，当x＞1时，，可利用的马克劳林公式得

已知条件收敛，而绝对收敛，所以无穷积分条件收敛但不绝对收敛．

综合可知：条件收敛．

617．计算积分[武汉大学研]

解：设显然在S_A上可积，且

作半径为a和的圆D₁和D₂，使得，由有

而

类似且有由夹逼原则可得，

即

所以 

1．求[中山大学2007研]

解：由于，所以绝对收敛．

1．求[南京大学研]

解：令，则原式变为

1．设函数f（x）在区间[0,＋∞）上连续，0＜a＜b．

（1）证明：如果，则

（2）证明：如果积分收敛，则[中北大学研、北京交通大学2006研]

证明：（1）对任意的，有

在上式右端的两个积分中分别进行变量替换ax＝t和bx＝t，则有

由积分第一中值定理，有

其中ξ介于aα与bα之间，η介于aβ与bβ之间．令则同时有由f（x）的连续性及f（＋∞）存在性，即有

（2）与（1）的证明完全类似．对任意的，有

在上式右端的两个积分中分别进行变量替换ax＝t和bx＝t，则有

由积分第一中值定理，有

其中ζ介于aα与bα之间．令，则同时有由f（x）的连续性及收敛，即有

1．设对任意的A＞0，f（x）在[0，A]上正常可积，且收敛，令

，

试证明φ（x）在（0,＋∞）内至少有一个零点．[南京大学研]

证明：由φ（x）的表达式可知．因为

根据连续函数的介值性可得，φ（x）在（0，＋∞）内至少有一个零点．

1．讨论的收敛性．[中国地质大学研]

解：令

当α＞1时，取δ充分小，使α－δ＞1，因为，所以与同时收敛，故收敛．

当α≤1时，由于，所以与同时发散，故发散．

又因为，所以仅当α－1＜1，即α＜2时收敛．

综上所述，仅当1＜α＜2时，积分收敛．

1．讨论的收敛性．[复旦大学研]

解：由于

所以当0≤p＜q－1时，收敛；当p≥q－1时，发散．由于

所以当p＞－2时，收敛；当p≤－2时，发散．故当－2＜p＜q－1时，收敛；当p≤－2或p≥q－1时，发散．

1．f（x）在（0，1]上单调，且广义积分收敛，证明：存在．[上海大学2006研]

证明：不妨设f（x）在（0，1]上单调递增，则由知

而故由夹逼法知