阻尼振动实验的设计与研究[6]

于舸，赵曼，吕爱君

（北京石油化工学院　数理系）

摘要：本文利用浸水弹簧振子设计了阻尼振动的物理实验装置，装置还采用了信号模数转换、实时的数据可视化显示以及通过曲线拟合求物理参数等现代信息处理技术。该实验现象演示效果好，计算出的物理参数精确；同时实验原理直观，装置简单，建设和维护成本低廉，具有良好的实用性，可以推广。

关键词：阻尼振动；物理实验装置；设计

引言

目前 “阻尼振动的研究”实验是很多高校在大学物理实验课程中开设的实验项目之一。通常采用传统的气垫导轨上滑块和弹簧组成的振动系统在空气阻力作用下的运动来研究。在本实验中，学生不能实时地直观地观察到阻尼振动规律，而且阻尼振动的半衰期和初始振幅的测定也存在较大的偶然误差，实验精度和可靠性不高。前期研究者应用DISLab 位移传感器对该实验进行了改进，本文自行设计了一个阻尼振动实验装置，实时在线观察、测量了振动系统在空气和水中的振动规律，并应用Origin软件对实验数据进行拟合，得到了系统在水中作欠阻尼振动的阻尼系数和振动周期。

1　实验装置简介

本实验所需仪器和材料有量程为20V的直流稳压电源、上海康星电线电缆有限公司生产的力敏传感器（JH-2）、电压放大器、数据采集卡、计算机，以及铁支架、弹簧、小钢片、烧杯、水、细丝线和导线若干，有关实验材料参数见表1。

将力敏传感器固定在铁支架上，弹簧挂在传感器下端小钩上，把小钢片用高强度的胶合剂与长度适中的单股丝线的一端胶合，另一端与弹簧相连（选取劲度系数适合的弹簧），小钢片下端放置一盛适量水的烧杯，将稳压电源、传感器、电压放大器、数据采集卡和计算机按图1所示的顺序连接，这就构建了一个阻尼振动实验装置。

2　测量方法及实验原理

如图1所示，弹簧和钢片组成的弹簧振子悬挂在力敏传感器下端，钢片在水中做垂直振动，力敏传感器能够感知弹簧所受拉力，并输出正比于拉力的电信号，信号经过放大后传送给NI-USB6002型数据采集卡，采集卡把模拟信号数字化后传输给计算机。本实验应用LabVIEW软件，自行开发了计算机与采集卡通讯控制程序以及数据显示程序，能够通过计算机设置数据采集的采样率、采样时长等参数，控制采集卡工作；同时计算机能够从采集卡实时接受采集的数据，并以振动曲线的形式显示电脑屏幕上，使学生不仅能够观察振子的上下运动，还能够实时观察位移曲线。

实验时，检查好电路连接，接通给力敏传感器、电压放大器供电的稳压电源，运行计算机测试程序，设定采样频率1000次/s，采样时间20s，控制采集卡开始采集数据，然后向下拉动连接弹簧和钢片间的钢丝，使钢片离开平衡位置，待系统稳定后松手，振子开始振动，这时就可以观察振子的实际振动以及计算机屏幕显示的振动曲线。实验中，电压放大器放大倍数为100倍，实验室温度为20.0℃，分别测量了振动系统在空气和水中振动的实验数据，测量次数为10次。

悬挂在弹簧上的小钢片在水中运动过程时，受到重力mg、弹性力F'和浮力F浮，以及水的黏滞阻力f阻作用，在平衡位置O点，设弹簧伸长量为b，钢片受力如图2（左）所示，则有

mg-F 浮-F' =0　　 （1）

F'=kb　　 （2）

钢片位于坐标x处时，所受弹性力为F'1，其受力情况如图2（右）所示。则有

mg- F'1-F 浮-f阻 =ma　　 （3）

F'1=F'+ kx　　 （4）

　　 （5）

　　 （6）

联立方程式（1）～式（6），可得小钢片的运动方程

　　 （7）

令

　　 （8）

则式（7）变化为

　　 （9）

其中β为阻尼系数，ω0是振动系统的固有角频率，当β小于ω0时，系统作欠阻尼振动。

本方程的解为

x=Ae-βtsin（ωt+φ）　　 （10）

式（10）中

　　 （11）

力敏传感器受到的力设为F，则有

F=F'1= kx+kb　　 （12）

由于输出电压U与力敏传感器受到的力F呈线性关系，考虑到式（10）、式（12），故本电压与位移成正比，其表达式为

U=U0+A'e-βtsin（ωt+φ）　　 （13）

电压变化的角频率ω就是阻尼振动系统的角频率，因此阻尼振动周期为

　　 （14）

利用Origin软件分别对系统在空气和水中振动的实验数据进行拟合，可以求出ω0、ω，由式（8）、式（11）分别计算出弹簧劲度系数k，以及阻尼系数β值。由式（14）求出阻尼振动的周期T。

3　测量结果及分析

（1）系统在空气中振动的电压曲线拟合

经多次测量，观察到系统在空气中振动输出的电压振幅都保持不变，这说明系统所受的空气阻尼可忽略不计，系统作无阻尼振动。系统作无阻尼振动时输出的电压曲线如图3（虚线）所示。利用正弦函数拟合，拟合曲线为图3中的实线。从图3中可以直观地看出拟合效果比较理想，10次测量数据的拟合度R2值均大于0.987，平均拟合度R2值为0.994。这进一步印证系统在空气中作简谐振动。由拟合公式给出的参数W，可计算出系统作简谐振动的固有角频率ω0等于1000π/W （s-1），表2给出了10次测量数据的拟合与计算结果，可以看到，系统固有角频率、固有周期的平均值分别为9.342s-1，0.6725s。由式（8）可计算出弹簧劲度系数k值为3.150N/m，与测力计测量的k值3.05 N/m之间的相对误差仅为3%。

（2）系统在水中振动的电压曲线拟合

实验中实时观察到了弹簧振子在水中的振动过程，同时在电脑屏幕上还直观地看到输出电压振幅随时间按指数规律衰减，这就是振动系统的位移随时间的变化规律，如图4中的虚线所示。利用衰减正弦函数对实验数据进行非线性拟合，拟合曲线与原始数据曲线几乎重合（如图4中的实线），10次测量数据拟合度R2的平均值为0.992，进一步确定系统作欠阻尼振动。由拟合公式的参数W，同样可以导出系统作欠阻尼振动的角频率ω，计算得到欠阻尼振动的周期T和阻尼系数β。10次欠阻尼振动周期的平均值为0.7610s，与无阻尼自由振动的周期T0比较，增大了13%。阻尼系数β的平均值为4.366s-1，见表2所示。

4　结论

①采用弹簧振子浸水实现阻尼振动的实验方法非常直观和简单明了。与气垫导轨上的振子系统相比，本实验操作更容易，实验装置更简单，建设和维护成本很较低廉，容易实现。

②用弹簧振子在空气中的振动模拟了无阻尼振动，很容易实现了有阻尼与无阻尼振动过程的观察、对比。本实验装置改变阻尼的大小也很方便，只需要更换质量表面积比不同的振子，选用不同劲度系数的弹簧即可。

③本实验装置融合了模拟信号的数字化转换、计算机与仪器之间的通讯控制、数字信号的可视化显示，以及实验大数据的曲线拟合这些现代信息处理技术，实现了大学物理实验教学的数字信息化，与传统的实验教学模式相比，更有利于学生尽早地接触、学习、掌握和运用现代数字信息技术。

④实验计算出的弹簧劲度系数、阻尼振动周期和阻尼系数，是通过曲线拟合大量的实验数据得到，实验精度和可靠性较高。因此，在大学物理实验教学中，该阻尼振动实验方法和装置具有一定的推广价值。

参考文献

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［3］　赵俊，丁益民等.气垫导轨上弹簧振子阻尼振动的数字化实验研究［J］.大学物理实验，2016，29（4）：52.

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