对以习题课为载体提升高等数学解题能力的研究与实践[8]

师钦贤

（北京石油化工学院　数理系）

摘要：高等数学是工科院校一门重要的必修基础课程。提升解题能力是高等数学教学的核心问题。文章探讨通过精心设计习题课的教学内容、教师教法和学生学法，激发学生学习内动力，使学生掌握解题技巧和提高学生的数学素养以及用高等数学的思想和方法解决实际问题的能力。

关键词：解题能力；习题课；实际问题；高等数学

引言

高等数学是工科院校一门重要的必修基础课程。高等数学的理论知识在工程技术、金融以及人文社科等方面都有广泛的应用。随着社会的发展，普通高校对学生的培养不再局限于传授知识，答疑解惑，而更注重于培养学生的数学思维、数学素质、应用能力、独立学习以及创新能力，这些能力的培养，离不开高效的数学解题能力，因而提高学生的解题能力成为我们迫切需要解决的问题。

1　以习题课为载体提升学生解题能力的意义

随着教学改革的不断深化，教育理念的不断更新，教育的真正目的在于使学习者成为自己知识结构的设计者，使学习者善于和有能力学习。学会并能高效能的解数学题是培养学习能力的重要一环。因此需要了解高等数学解题能力的结构以及培养和提升解题能力。培养学生高效能的解题能力的方式很多，其中利用习题课提升学生的解题能力是一个重要的教学方式。习题课是培养学生正确解数学题的一个重要环节，是高等数学教学中的一个不可或缺的重要环节。通过掌握习题的形式来形成学生的数学技能，并通过解题教学培养学生的数学应用意识和能力。通过精心设计习题课的教学内容、教师教法和学生学法可以让学生发现自己在平时学习过程中所遇到的问题，从而有针对性地补充相关的知识；可以激发学生的学习兴趣，提高学生的解题能力，有利于提升学生学习的自信心；可以拓展和延伸学生的学习能力，激发学生的创造性，让学生自己去发现知识之间的联系，培养学生独立思考的能力，让学生养成爱思考、会思考的习惯。

2　以习题课为载体提升学生解题能力的研究与实践

数学教学的核心是培养学生解决数学问题的能力。而在教学活动中，经常会发现学生在解题过程中，尤其面对实际问题，不知所措，找不到问题的突破点，其本质上就是不能有效地提取有用信息，将实际问题转化为数学问题，或者即使转化为数学问题后，不能及时更换思维策略，难以对自己的思维过程进行有效的计划、调节和监控，因而不能顺利地解决问题。习题课是培养学生解题能力的重要教学环节，通过在习题课的教学内容、教师教法以及学生学法等方面进行改革，探索提升学生高等数学解题能力的有效方法。

2.1　习题课教学内容方面的设计

（1）基本理论题目的设计

高等数学课程的基本理论多，内容繁杂，这对于从中学数学过渡到大学数学的学生来说是需要有一个适应的过程。如何能让学生更好地学习基本理论的一个方法就是精心设计考察基本理论的题目。例如，拉格朗日中值定理是微分学的一个重要定理，在微分学中有重要的应用。在设计考察这一基本定理的练习题时，可以直接用填空题展现定理，让学生熟悉定理的条件结论，但这样的方式比较被动，学生只能简单地记忆定理，并不能很好地理解这一定理，于是我们采取数形结合的方式设计考察拉格朗日中值定理的题目，如例1。

【例1】　根据下面Matlab命令及运行结果（见图1）回答下列问题［函数f（x）是定义在区间［-1，3］上的连续函数］：

①写出点M的横坐标，并指出程序中k表示什么；

②指出程序中的函数y3表示图中哪条曲线；

③说明拉格朗日中值定理的几何意义；

④写出使拉格朗日中值定理成立的ξ的值。

程序：

  x=-1：0.01：3；
  y1=f（x）；
  k=（f（3）-f（-1））/（3-（-1））；
  syms x
  f1=diff（y1，x）；
  x0=solve（f1-k，x）
  y2=k*（x-（-1））+f（-1）；
  y3=k*（x-（x0））+f（x0）；
  plot（x，y1，'d'，x，y2，'*'，x，y3，'-'）
  grid on

程序结果：

x0=1

在这样的设计方案中，不再是单纯地考察记忆，学生在回答问题的过程中学习拉格朗日中值定理的条件和结论，有助于更好掌握基本理论知识。高等数学研究的主要内容是积分学和微分学，因而题目的设计要尽量体现导数与积分的本质，即导数与积分分别是处理均匀量的商和积在处理非均匀量中的发展，只有这样学生才不会在最基本的理论上模棱两可，才能更好地掌握理论，为提升解题能力做好理论知识的储备。

（2）基本运算题目的设计

基本运算能力是提升解题能力的基础，只有多练习才能提高基本运算能力。对大部分学生来说，当需要解决的问题用到较多的知识点时，往往不能够正确解答。因而对于基本运算的练习题，在题目设计上尽量遵循一个知识点解决一个问题的思路，然后在经过一定量的适当的练习题训练后，增加难度，设计用多个知识点解决一个问题的题目。通过这样循序渐进的方式帮助学生学会并熟练进行基本运算。例如，在空间解析几何中涉及旋转体，当学习了三重积分时，可以设计旋转体和三重积分相结合的练习题，如例2。

【例2】　将xoz坐标面上的抛物线x2=2z绕z轴旋转一周，

①求所生成的旋转曲面方程；

②求旋转曲面与平面z=2所围成的立体的体积。

例2涉及旋转体的曲面方程和三重积分这两个知识点，同时该例题将不同章节内容的知识联系起来，可以让学生将知识融会贯通，提高综合解题能力。

（3）程序性知识题目的设计

程序性知识主要指“怎样做”的知识。在高等数学中存在着大量的程序性知识，掌握程序性知识的有效途径是进行变式训练。通过变式训练，使学生从各种具体问题中抽象出基本模式，并用于求解其他变式问题。高等数学中涉及定积分、二重积分、三重积分、曲线积分以及曲面积分，这些积分的形式虽然不同，但是计算的一般步骤有相同之处。通过变式训练，学生可以从复杂的习题中归纳解决问题的步骤。例如，归纳计算重积分的一般步骤（程序性知识）：①明确积分区域；②用代数不等式表示积分区域；③将重积分化为累次积分；④计算求值。利用这一普遍规则指导学生进行重积分问题的求解，就可以产生广泛的迁移效应，收到举一反三的教学效果。而计算曲线、曲面积分时首先要将曲线积分或曲面积分分别转化为定积分或二重积分，然后再利用定积分或二重积分的知识去解决。于是练习题的设计就要突出计算的过程，引导学生形成计算曲线、曲面积分的一般步骤。如例3。

【例3】　按要求回答下列问题：

①画出∑的图形，其中∑是球面x2+y2+z2=a2被平面z=h（0<h<a）截出的顶部；

②做出∑在xoy面上的投影，并将该投影表示的区域用代数不等式表示；

③将化为二重积分；

④将③中的二重积分表示为累次积分，并计算该积分的值。

通过引导学生在解决4个问题的过程中逐步明确计算曲面积分的步骤。程序性知识题目的设计为解决复杂的应用问题提供可能，要重视这方面的训练。

（4）策略性知识题目的设计

策略性知识主要指“为什么”的知识，是个体知识结构的较高层次。经常会发现有些学生没有推理和解题的过程，只会根据公式算出结果，而一些学生能够清晰写出思维发生发展的过程，这种在解题能力上的差异主要表现在解题思维即策略性知识方面。提升解题能力就需要提高学生分析题意，自主形成解题策略的能力。解题策略通常是指选择、组合、改变或操作头脑中已有知识命题的一系列规则。通过选择策略，提高针对性和成功概率。对于策略性知识题目的设计要让学生感知解题策略，将内潜的解题策略外化为可操作、可执行、合乎规则的活动程序。策略性知识往往体现在较复杂的应用问题上，需要较高的知识结构。如例4。

【例4】　发射登月体的模型。从地球向月球发射登月体，如果发射体的初速度过小，由于地球的引力作用就会被吸引回来，即发射不上去；如果发射体的初速度过大，势必造成原材料的浪费，同时由于月球引力的作用致使登月体与月球发生剧烈的碰撞而使登月体损坏，而且过大的发射速度也对火箭的发射技术提出了更高的要求。目前火箭技术能否保证足够大的发射速度以及多大的发射速度就能将登月体发射上去呢？试着建立数学模型，并估算至少需要多大的初速度才能把登月体发射到月球上去。

这是一个非常有趣的应用问题。如果直接让学生去做，难度比较大，因此需要帮助学生建立模型。在引导学生做问题分析的时候，设计一些问题，指导学生根据实际情况做出相应的假设。

问题：①地球和月球是否可以看成圆球体，如果可以，用符号分别标记它们半径和质量；

②登月体发射的方向是怎么样的，这里可以做怎么样的假设，说明你的理由；

③我们知道地球与月球的转动，太阳及其他星球对地球和月球的吸引力，这些因素能否忽略；

④登月体在发射过程中会遇到空气阻力，如何处理空气的阻力？

根据这几个问题，学生可以进行合理假设，继而写出微分方程并根据方程求解，从而解决这个较复杂的微分方程的应用问题。本例中问题的回答过程也是解题策略形成的过程。

2.2　教师教法和学生学法的设计

（1）习题课前教师教法和学生学法的教学设计

由于习题课的时间较少，教师可以在习题课前有意识地给学生布置一些考察基本理论和基本运算的练习题，让学生将基本知识点熟练掌握，同时学生可以自主或小组一起复习并归纳总结本单元主要内容，指出重点、难点和疑点，归纳习题类型及解法，并评价自己的作业或同学之间互评。例如，在不定积分习题课前，分别按照第一、第二类换元法以及分部积分法设计一些简单练习题，学生通过做练习题，不仅能够熟练积分计算的方法，更能区分各种积分法适用的范围。学生将习题课前练习题的试做情况反馈给教师，以便教师在上课前充分了解学生对知识的掌握情况，并围绕学生这个主体来进行备课，更好地发挥习题课的作用。

（2）习题课堂教师教法和学生学法的教学设计

习题课上，教师可以通过收集到的反馈信息，对容易混淆的概念和较难掌握的解题技巧进行强化训练。在教学过程中，教师要精讲，要体现以学生为主体与教师为主导相结合的原则，让学生参与到每一个教学环节中来，成为学习的主动者。习题课的课堂教学主要围绕程序性知识和策略性知识展开。教师在讲授中用思维的方法讲例题，真实地展示自己分析题意和应用策略的活动过程，让学生看到解题的思维过程。而在学生做练习时，教师应指导学生仔细研究题意，是否充分使用到已有的条件和数据，是否利用数形结合的思想以及确认计算所用知识点和计算的正确性等等。在学生解题结束后，学生对解题过程进行复述，然后展开讨论。通过讨论，明确解题过程中得到的结论是否正确，并探讨能否改进解答过程，能否把这一结论和方法应用到其他问题上，让学生真切地感受解题策略，提高学生的解题兴趣和能力。

（3）习题课后教师教法和学生学法的教学设计

习题课后，教师要对学生做的小结内容进行深入的分析和比较，引导并鼓励学生在此基础上适当地补充创新内容，鼓励学生结合现有生活实际和现代社会的发展需求合理运用教材。而学生要学习从身边熟悉的生活素材出发，在观察中捕捉有价值的信息，充分发挥创新思维，学会“用数学的眼光看问题”。例如，在学习定积分后，可以布置一些与生活有关的能用定积分解决的例子。例如，如何利用所学定积分的知识将一个由双扭线ρ2=72cos2θ，-≤θ≤围成月饼分成四等分；如何通过过滤装置解决污染问题等。通过开放性的问题，激发学生的学习潜力，促使他们更有效地学习。

3　结论

通过设计习题课的教学内容，帮助学生掌握解题技巧和提升学生的解题能力；通过教师采取适当的教法以及学生采用有效的学法，培养学生的自主学习能力和养成良好的学习习惯，实现被动学习到主动学习的转变；通过改进习题课的教学方式和加强学生的解题训练，提高学生的数学素养，运用高等数学的理论和技巧解决实际问题的能力以及促进学生开展探索性和发现性的研究，进行创造性的学习。

参考文献

［1］　徐光迎.高等数学解题能力的结构及其培养 ［J］.湛江师范学院学报：自然科学版，2000，21（1）：70-72.

［2］　梁洁.数学教学中应该注重学生解题能力的提升［J］.教学动态，2017（16）：139-140.

［3］　邵任翔，万丽.高等数学习题教学改革浅谈［J］.长春教育学院学报，2015，31（11）：91-93.