2.1.2 模糊集的运算
两个F集间的各种运算，实际上就是逐点对两个F集相应的隶属函数作运算。本书为了描述方便，采用符号“∀”表示“对任意”。
设A，B∈F（U），若∀u∈U，B（u）≤A（u），则称A包含B，或者称B包含于A，记为B⊆A；如果A⊆B且B⊆A，则称A与B相等，记作A=B。
定义2.2 设A，B∈F（U），分别称运算A∪B，A∩B为A与B的并集、交集。称Ac为A的补集，也称为余集。他们的隶属函数分别为
（A∪B）（u）=max（A（u），B（u）） （2.5）
（A∩B）（u）=min（A（u），B（u）） （2.6）
Ac（u）=1-A（u） （2.7）
约定：为方便，本书将两个F集的取大运算记做max[A（u），B（u）]=A（u）∨B（u），两个F集的取小运算记做min（A（u），B（u））=A（u）∧B（u）。
因为∀a，b∈[0，1]，都有0≤a∨b≤1，0≤a∧b≤1，0≤1-a≤1，故对任意A，B∈F（U），有A∪B，A∩B，Ac∈F（U）。
图2.2 F集的交、并、补运算结果
一般地，F集A与B的并、交和余的计算（图2.2），按照论域U的有限和无限的不同，可以分为以下两种情况表示：
①设论域U={u1，u2，…，un}，F集
，F集
F（U），则有
②设论域U为无限集，F集
，F集
，则有
两个F集间的并、交运算可以推广到任意多个F集间的并、交运算。
推广：设At∈F（U），t∈T，T为指标集。对任意u∈U，有
其中sup和inf分别表示全体F集“取最大”和“取最小”运算。显然，
。
设U表示论域，A，B，C∈F（U），有如下性质：
（1）幂等律A∪A=A，A∩A=A
（2）交换律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A
（3）结合律（A∪B）∪C=A∪（B∪C），（A∩B）∩C=A∩（B∩C）
（4）吸收律（A∪B）∩A=A，（A∩B）∪A=A
（5）分配律（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C），（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C）
（6）0—1律A∪∅=A，A∩∅=∅，A∪U=U，A∩U=A
（7）复原律 （Ac）c=A
（8）对偶律（A∪B）c=Ac∩Bc，（A∩B）c=Ac∪Bc
证明：
此处仅证明对偶率（A∪B）c=Ac∩Bc，其余由读者自行完成。
∀u∈U，（A∪B）c（u）=1-（A∪B）（u）
=1-A（u）∨B（u）
=（1-A（u））∧（1-B（u））
=Ac（u）∧Bc（u）
=（Ac∩Bc）（u）
故（A∪B）c=Ac∩Bc。
例2.3 设论域U={u1，u2，u3，u4，u5}，A=（0.2，0.5，0.8，0.7，0.2），B=（0.8，0.2， 1，0.4，0.3），计算A∪B，A∩B，Ac。
解：
A∪B=（0.2∨0.8，0.5∨0.2，0.8∨1，0.7∨0.4，0.2∨0.3）
=（0.8，0.5，1，0.7，0.3）
A∩B=（0.2∧0.8，0.5∧0.2，0.8∧1，0.7∧0.4，0.2∧0.3）
=（0.2，0.2，0.8，0.4，0.2）
Ac=（1-0.2，1-0.5，1-0.8，1-0.7，1-0.2）=（0.8，0.5，0.2，0.3，0.8）
例2.4 求例2.2中两个F集的交、并等运算，包括A∪B，A∩B，Ac。
解：
注意：例2.4中的u*表示两个隶属函数的交点。