2.3 链接数

由同样的参数N和p产生的随机网络，看起来会稍有不同（图2-3）。这种不同不仅体现在详细的节点连接情况上，还体现在链接数L上。因此，给定参数N和p时，判定出所生成随机网络的期望链接数是有价值的。

图2-3 随机网络是真正随机的

第一行图

参数均为p=1/6，N=12的三个随机网络。尽管参数相同，但这三个网络不仅看上去差别很大，链接数也不同（L=10，10，8）。

第二行图

参数均为p=0.03，N=100的三个随机网络。可以看到，图的底部有一些孤立节点，这些节点的度为k=0。

随机网络恰好有L条链接的概率，是如下三项的乘积：

（1）L个点对之间存在链接的概率，即pL。

（2）剩余N(N-1)/2-L个点对之间没有链接的概率，即(1-p)N(N-1)/2-L。

（3）在所有N(N-1)/2个点对中选择L个点对放置链接，所有可能的选择方式数为：

因此，随机网络恰好有L条链接的概率为：

公式2.1是一个二项式分布（边栏2.3），因此随机网络的期望链接数为：

边栏2.3

二项分布：均值和方差

假设我们掷一枚硬币，则得到正面和反面的概率均为p=1/2。假如我们掷N次硬币，有x次正面的概率记为px，则px服从二项分布。一般而言，二项分布用于描述有两个可能结果的N次独立实验中某个结果出现的次数。我们记一种结果出现的概率为p，另一种结果出现的概率为1-p。

二项分布的形式为：

分布的均值（一阶矩）为：

其二阶矩为：

因此，二项分布的标准差为：

在刻画随机网络的性质时，公式2.4～公式2.6经常会被使用。

可以看出，是节点对之间存在链接的概率p和链接对总数Lmax=N(N-1)/2（见第1章）的乘积。

根据公式2.2，我们可以得到随机网络的平均度

也就是说，对于节点数为N的随机网络而言，其平均度是节点对间存在链接的概率p和一个节点最多可能拥有的链接数(N-1)的乘积。

综上所述，由相同参数N和p产生的不同随机网络，其链接数可以不同。链接数的期望值取决于N和p。增大p的值会使随机网络变得更稠密：平均链接数从=0线性增加到Lmax，节点平均度由=0增加到=N-1。