4.2　基于加权多维标度的定位方法1

4.2.1　标量积矩阵的构造

在多维标度分析中，需要构造标量积矩阵。首先利用传感器和辐射源的位置向量定义如下坐标矩阵：

式中，[3]。假设为列满秩矩阵，即有。然后构造如下标量积矩阵：

容易验证，该矩阵中的第行、第列元素为

式中，。式（4.7）实际上提供了构造矩阵的计算公式，如下式所示：

现对矩阵进行特征值分解，可得

式中，为特征向量构成的矩阵；为特征值构成的对角矩阵，并且假设。由于，则有。若令、及，则可以将矩阵表示为

再利用特征向量之间的正交性可得

【注记4.1】本章将矩阵的列空间称为信号子空间（也称为信号子空间矩阵），将矩阵的列空间称为噪声子空间（也称为噪声子空间矩阵）。

4.2.2　一个重要的关系式

下面将给出一个重要的关系式，它对于确定辐射源位置至关重要。首先将式（4.6）代入式（4.11）中可得

由式（4.12）可知

接着将式（4.5）代入式（4.13）中可得

式（4.14）是关于辐射源位置向量的子空间等式，但其中仅包含噪声子空间矩阵。根据式（4.10）可知，标量积矩阵是由信号子空间矩阵表示的，因此下面还需要获得向量与矩阵之间的关系式，具体可见如下命题[28]。

【命题4.1】假设是行满秩矩阵，则有

【证明】首先利用式（4.14）可得

将式（4.16）两边右乘以，然后两边再同时除以可得

由于是行满秩矩阵，结合第2章命题2.5和式（4.17）可得

根据对称矩阵特征向量之间的正交性可知，最后将该式与式（4.18）相结合可得

证毕。

式（4.15）给出的关系式至关重要，命题4.1是根据子空间正交性原理对其进行证明的，附录A.1中还基于矩阵求逆定理给出了另一种证明方法。

需要指出的是，式（4.15）并不是最终的关系式，为了得到用于定位的关系式，还需要将式（4.15）两边左乘以，可得

式中，第2个等号处的运算利用了式（4.10）。式（4.20）即为最终确定的关系式，它建立了关于辐射源位置向量的伪线性等式，其中一共包含个等式，而TOA观测量也为个，因此观测信息并无损失。

【注记4.2】虽然在上面的推导过程中利用了信号子空间矩阵和噪声子空间矩阵，但是在最终得到的关系式（4.20）中并未出现这两个矩阵，这意味着无须进行矩阵特征值分解即可完成辐射源定位。

4.2.3　定位原理与方法

下面将基于式（4.20）构建确定辐射源位置向量的估计准则，并且推导其最优解。为了简化数学表述，首先定义如下矩阵和向量：

结合式（4.20）和式（4.21）可得

1．一阶误差扰动分析

在实际定位过程中，标量积矩阵的真实值是未知的，因为其中的真实距离仅能用其观测值来代替，这必然会引入观测误差。不妨将含有观测误差的标量积矩阵记为，于是根据式（4.7）可知，矩阵中的第行、第列元素为

进一步可得

由于，于是可以定义如下误差向量：

式中，表示中的误差矩阵，即有。若忽略观测误差的二阶及其以上各阶项，则根据式（4.24）可以将误差矩阵近似表示为

将式（4.26）代入式（4.25）中可以将误差向量近似表示为关于观测误差的线性函数，如下式所示：

式中

式（4.27）的推导见附录A.2。由式（4.27）可知，误差向量渐近服从零均值的高斯分布，并且其协方差矩阵为

2．定位优化模型及其求解方法

基于式（4.25）和式（4.29）可以构建估计辐射源位置向量的优化准则，如下式所示：

式中，可以看作加权矩阵，其作用在于抑制观测误差的影响。不妨将矩阵分块表示为

于是可以将式（4.30）重新写为

根据命题2.13可知，式（4.32）的最优解为[4]

【注记4.3】由式（4.29）可知，加权矩阵与辐射源位置向量有关，因此严格来说，式（4.32）中的目标函数并不是关于向量的二次函数。庆幸的是，该问题并不难以解决，可以先将设为单位矩阵，从而获得关于向量的初始值，然后再重新计算加权矩阵，并再次得到向量的估计值，重复此过程3～5次即可获得预期的估计精度。理论分析表明，在一阶误差分析理论框架下，加权矩阵中的扰动误差并不会实质影响估计值的统计性能。

图4.1给出了本章第1种加权多维标度定位方法的流程图。

4.2.4　理论性能分析

下面将推导估计值的理论性能，主要是推导估计均方误差矩阵，并将其与相应的克拉美罗界进行比较，从而证明其渐近最优性。这里采用的性能分析方法是一阶误差分析方法，即忽略观测误差的二阶及其以上各阶项。

首先将最优解中的估计误差记为。基于式（4.33）和注记4.3中的讨论可知

式中，表示的估计值。在一阶误差分析框架下，基于式（4.34）可以进一步推得

式中，表示矩阵中的扰动误差。由式（4.35）可知，估计误差渐近服从零均值的高斯分布，因此估计值是渐近无偏估计，并且其均方误差矩阵为

【注记4.4】式（4.35）表明，在一阶误差分析理论框架下，矩阵中的扰动误差并不会实质影响估计值的统计性能。

下面证明估计值具有渐近最优性，也就是证明其估计均方误差矩阵可以渐近逼近相应的克拉美罗界，具体可见如下命题。

【命题4.2】在一阶误差分析理论框架下，[5]。

【证明】首先根据命题3.1可知

式中

然后将式（4.29）代入式（4.36）中可得

对比式（4.37）和式（4.39）可知，下面仅需要证明

考虑等式，将该等式两边对向量求导可得

由式（4.41）可知式（4.40）成立。证毕。

4.2.5　仿真实验

假设利用5个传感器获得的TOA信息（也即距离信息）对辐射源进行定位，传感器三维位置坐标如表4.1所示，距离观测误差服从均值为零、协方差矩阵为的高斯分布。

首先将辐射源位置向量设为 (m)，将标准差设为，图4.2给出了定位结果散布图与定位误差椭圆曲线；图4.3给出了定位结果散布图与误差概率圆环曲线。

然后将辐射源坐标设为两种情形：第1种是近场源，其位置向量为(m)；第2种是远场源，其位置向量为(m)。改变标准差的数值，图4.4给出了辐射源位置估计均方根误差随着标准差的变化曲线；图4.5给出了辐射源定位成功概率随着标准差的变化曲线（图中的理论值是根据式（3.29）和式（3.36）计算得出的，其中m）。

最后将标准差设为两种情形：第1种是；第2种是，将辐射源位置向量设为（m）[6]。改变参数的数值，图4.6给出了辐射源位置估计均方根误差随着参数的变化曲线；图4.7给出了辐射源定位成功概率随着参数的变化曲线（图中的理论值是根据式（3.29）和式（3.36）计算得出的，其中m）。

从图4.4～图4.7可以看出：（1）基于加权多维标度定位方法1的辐射源位置估计均方根误差可以达到克拉美罗界（见图4.4和图4.6），这验证了4.2.4节理论性能分析的有效性；（2）随着辐射源与传感器距离的增加，其定位精度会逐渐降低（见图4.6和图4.7），其对近场源的定位精度要高于对远场源的定位精度（见图4.4和图4.5）；（3）两类定位成功概率的理论值和仿真值相互吻合，并且在相同条件下第2类定位成功概率高于第1类定位成功概率（见图4.5和图4.7），这验证了3.2节理论性能分析的有效性。