3.4 串联交流电路_电工电子技术基础-QQ阅读武侠男生网

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3.4 串联交流电路

3.4.1 电压和电流关系

如图3.4.1a所示R、L、C组成的串联交流电路，两端加上正弦交流电压u时，电路中必将产生交流电流i，同时在各元件上分别产生电压u_R、u_L和u_C。设图3.4.1b中电流为参考相量，则根据KVL的相量形式，有

根据欧姆定律相量形式，R、L、C三种元件电压、电流相量关系式为=R，=jωL=jX_L，=-jX_C。在正弦交流电路中，电阻、电感、电容元件的电压相量和电流相量的比值是一个复数，通常定义该比值为复数阻抗，简称阻抗，用大写字母Z表示，单位为欧姆（Ω）。

以电流为参考相量，作、、相量图，如图3.4.1c所示，+=。由相量、、组成的三角形称为电压三角形，如图3.4.1d所示。

图3.4.1 串联交流电路图

a）电路 b）相量形式 c）相量图 d）电压三角形和阻抗三角形

电压三角形的三个电压满足以下条件，即

电压三角形中的φ是电压超前于电流的相位角，即阻抗角。由电压三角形得

应用元件的VCR（电压-电流关系）相量形式

式中，Z=R+jX是RLC串联电路的等效阻抗，其实部就是串联电路的电阻R，虚部X是感抗X_L与容抗X_C之差，即X=X_L-X_C，称为电抗，单位是欧［姆］（Ω）。显然，感抗和容抗总是正的，而电抗为一个代数量，可正可负。

若将电压三角形的三电压U_R、U_X、U分别除以电流R，则得到由阻抗X、u_L和阻抗模|Z|组成的三角形，称为阻抗三角形，如图3.4.1d所示。显然，电压三角形与阻抗三角形是相似三角形。在阻抗三角形中，有

可见，电压超前于电流的相位角，即阻抗角φ的大小由电路参数决定，其正负取决于电抗X=X_L-X_C的正负。

下面讨论电抗与电路性质的关系。

当电抗值不同时，电路呈现出以下三种不同状态。

1）当X＞0，即X_L-X_C>0时，电路中的感抗大于容抗，此时阻抗角φ>0，电压超前电流，电路呈电感性。

2）当X<0，即X_L-X_C<0时，电路中的容抗大于感抗，阻抗角φ<0，电压滞后于电流，电路呈电容性。

3）当X=0，即X_L=X_C时，表明感抗和容抗的作用相等，电压与电流同相，阻抗角φ=0，电路呈电阻性。此时电路如同纯电阻电路一样，这时电路的工作状态称为谐振。

注意：阻抗是在使用相量法计算电压与电流相量关系时得到的一个复数计算量，它不表示正弦量，所以不是相量。因此，只是用大写字母Z表示阻抗，并不在它的上面加点。

例3.4.1 如图3.4.1a中R、L、C串联回路，已知X_L=X_C=30Ω，R=10Ω，=20∠0°V，求该电路总阻抗Z和电流的有效值以及电阻、电感和电容上的电压有效值。

解：Z=R+j（X_L-X_C）=10+j（30-30）Ω=10Ω=10∠0°Ω

例3.4.2 如图3.4.2a所示R、L、C组成的混联回路，X_C=50Ω，X_L=R=100Ω，I_C=2A，求I_R和U。

解：由于=，根据复数运算规则得

电路阻抗为

电路中的电压为

U=|

I=100V

图3.4.2 例3.4.2混联电路图

a）电路的相量模型 b）相量图

在没有指定参考相量时，通常串联电路以电流为参考相量，并联电路以电压为参考相量。对于混联电路，一般以并联支路的电压为参考相量，即=U_R∠0°，电阻的电流与电压同相，电感电流滞后于电压90°；由于X_L=R，=+，所以I_R=I_L=I_Csin45°=A。由此可以画出、、及的相量，如图3.4.2b所示。根据元件VCR得U_R=RI_R=141 V。由于电容电压滞后于电流90°，于是可以画出，其中U_C=X_CI_C=100 V，根据=+可以画出总电压的相量。显然、、可组成等边直角三角形，所以U=U_C=100 V。

3.4.2 功率

1.瞬时功率

设图3.4.3a所示二端网络的端电压u和端口电流i参考方向关联，其表达式为

端口电压超前于端口电流相位角φ=φ_u-φ_i，为了简化计算，令φ_i=0，则

于是二端网络的瞬时功率为

根据式（3.4.6）可以画出瞬时功率的波形图，如图3.4.3b所示。瞬时功率有正有负，说明二端网络和外电路有能量交换。这种现象是因为二端网络内既有电阻元件，也有储能元件电感和电容。

为了便于分析，将式（3.4.6）的第二项展开并整理得

式（3.4.7）表明，瞬时功率由两个分量组成，第一个分量波形如图3.4.3c所示，其值大于或等于零，是网络内电阻吸收的瞬时功率，称为有功分量，其平均值为UIcosφ；第二个分量波形如图3.4.3d所示，为一交变分量，平均值为零，是网络内储能元件的瞬时功率，称为无功分量。即有功功率P=UIcosφ，其中P为大写字母。

图3.4.3 二端网络功率

a）二端网络 b）二端网络的瞬时功率 c）瞬时功率的有功分量 d）瞬时功率的无功分量

2.平均功率

由网络瞬时功率的公式可以推出网络平均功率的计算公式，即

可见，平均功率等于瞬时功率的有功分量的平均值，故网络的平均功率又称为有功功率，满足功率守恒，则网络的有功功率等于网络内所有电阻消耗的有功功率的和，即

P=∑P_R

在正弦交流电路中，网络有功功率不仅取决于网络端口的电压与电流有效值的乘积，还与电压、电流之间相位差φ有关。因此，在正弦交流电路中，需要釆用功率表来测量有功功率。式（3.4.8）中，λ按下式可得

λ称为网络的功率因数，φ称为功率因数角。一般地，φ=φ_u-φ_i，对于无源网络，φ等于网络的阻抗角。

3.无功功率

网络瞬时功率的无功分量为一交变量，其平均值为零，表明网络内储能元件虽然不消耗能量，却与外界有能量交换。而瞬时功率最大值UIsinφ反映了这种能量交换的规模。将UIsinφ定义为网络的无功功率，记作Q，即

在正弦交流电路中，与有功功率类似，网络无功功率不仅取决于网络端口电压与电流有效值的乘积，还与电压、电流之间相位差φ有关。无功功率满足功率守恒，即网络无功功率等于网络内所有储能元件的无功功率和。

若网络为纯电感元件，即φ=φ_u-φ_i=90°，则无功功率Q=UI=Q_L（正无功）；若网络为纯电容元件，即φ=φ_u-φ_i=-90°，则无功功率Q=-UI=-Q_C（负无功）；若网络中既有电感元件也有电容元件，则无功功率为

式（3.4.11）表明，网络内的电感和电容先自行进行能量交换，其多余部分再与外界进行交换。

在电工技术中，将网络端口电压与电流有效值的乘积称为视在功率，记作S，即

为了与有功功率区别，其单位使用伏安（V·A）或千伏安（kV·A）。

一般交流电气设备是按额定电压U_N和额定电流I_N来设计和使用的。变压器和一些交流电机的额定电压U_N和额定电流I_N的乘积，即额定视在功率S_N为

它表示设备能够输出的最大平均功率。设备的额定视在功率又称为容量。应当注意，视在功率不守恒。

有功功率P、无功功率Q、视在功率S三者的关系为

例3.4.3 如图3.4.1a中R、L、C组成的串联回路，已知R=30Ω，L=127mH，C=40μF，电源电压u=220（314t+20°）V。分别求下列问题：（1）感抗、容抗、阻抗；（2）电流的有效值I与瞬时值i（t）；（3）各部分电压的有效值与瞬时值的表示式；（4）绘制相量图；（5）功率P、Q和S。