§3-1 点的投影
一、点的三面投影
如图3-1（a）所示，A置于三面投影体系中，由A点分别作三个投影面的垂线，相应垂足a′、a、a″分别为A点的正面（V面）投影、水平面（H面）投影和侧面（W面）投影。规定点在空间的位置标注为大写的字母，如A、B、C等，点的正面投影规定用小写字母加一撇来表示，如a′、b′、c′等，点的水平投影用小写字母来表示，如a、b、c等，点的侧面投影用小写字母加两撇来表示，如a″、b″、c″等。
图3-1 点的投影
二、点的坐标
若将三面投影体系看成空间直角坐标系，即投影面为坐标面，投影轴为坐标轴，O为坐标原点，则点的空间位置可用一组直角坐标值表示，如A（x,y,z）,其三个直角坐标值分别表示了空间点到三个投影面的距离。从图3-1（a）可以看出，点的直角坐标值与点的投影及点A到投影面的距离关系为：
点A的x坐标值等于点到W面的距离；
点A的y坐标值等于点到V面的距离；
点A的z坐标值等于点到H面的距离。
由此可知，点的H面投影由点的x、y两坐标值决定；点的V面投影由点的x、z两坐标值决定；点的W面投影由点的z、y两坐标值决定。
三、点的三面投影规律
从图3-1可知，点A的V面投影和H面投影共同反映点A的x坐标；点A的V面投影和W面投影共同反映点A的z坐标；点A的W面投影和H面投影共同反映点A的y坐标。由此可得知投影规律：
（1）a′a的连线⊥OX轴（长对正）。
（2）a′a″的连线⊥OZ轴（高平齐）。
（3）水平投影a到X轴的距离等于侧面投影a″到Z轴的距离（宽相等）。
由以上可知，点的一面投影反映点到两个投影面的距离，即点的两个坐标值，点的任意两面投影就可以反映点到三个投影面的距离，即点的三个坐标值。也就是说，点的两面投影即可确定点在空间的位置。
【例3-1】 如图3-2（a）所示，已知B点的两面投影b′、b，求b″。
分析：根据点的三面投影规律，b″点必位于过b′而垂直于OZ轴的直线上，而且b点到OX轴的距离应等于b″到OZ轴的距离。
作图：
（1）过b′作OZ轴的垂线并延长。
（2）过b作OYH轴的垂线并延长，与45°辅助线相交，过交点作OYW轴的垂线并延长，与过b′作OZ轴的垂线的延长线相交，交点即为b″点。如图3-2（b）所示。
图3-2 已知点的两面投影求第三面投影
【例3-2】 已知空间点K（30，10，20），试作K点的三面投影。
分析：根据点的投影与坐标的关系，可以由点的已知坐标定出各面投影的位置。水平面投影可由X=30，Y=10确定；正面投影可由X=30，Z=20确定；侧面投影可由Y=10，Z=20确定。
作图：
（1）作相互垂直的投影轴，分别在各轴上截取X=30，Y=10，Z=20，如图3-3（a）所示。
（2）由各坐标点分别作所在投影轴的垂线，分别交于k、k′和k″三点，即得K点的三面投影，如图3-3（b）所示。
图3-3 根据点的坐标作点的三面投影
四、两点的相对位置关系
两点的相对位置关系指的是两点的左右、前后和上下关系。由于点的x、y、z坐标分别反映了空间点相对于W、V、H三投影面的距离，因此只要比较两点的对应坐标值的大小，就能确定两点的相对位置。X值大者在左，Y值大者在前，Z值大者在上，如图3-4所示。A点在B点的右方、后方和上方。
图3-4 两点的相对位置
五、重影点的绘制
当空间两点处于某一投影面的同一投影线上时，它们在该投影线垂直的投影面上的投影重合为一点，则称这两点是该投影面的重影点。重影点的空间条件是空间两点处在某一投影面的同一条投影线上，其坐标条件是有两个坐标值相同。规定不可见的投影要加圆括号，如图3-5所示。
图3-5 重影点的投影