任务二　静力学公理

静力学公理是人们对力的基本性质的概括。力的基本性质是人们在长期的生活和生产实践中积累的关于物体间相互机械作用性质的经验总结,又经过实践的反复检验,证明是符合机械运动本质的最普遍、最一般的客观规律。它是研究力系简化和力系平衡条件的依据。

一、二力平衡公理

作用于同一刚体上的两个力,使刚体保持平衡的必要与充分条件是：两个力大小相等,方向相反,作用在同一条直线上,如图1-3所示。

二力平衡公理表明了作用于刚体上的最简单力系平衡时所必须满足的条件。必须指出,这个条件对于刚体是必要而充分的,但对于变形体并不充分。例如,绳索在两端受到等值、反向、共线的拉力作用时可以平衡；反之,当受到压力作用时,则不能平衡。

工程结构中的构件受两个力作用处于平衡的情形是常见的。如图1-4(a)所示的支架,若不计杆件AB、AC的重量,当支架悬挂重物处于平衡时,每根杆在两端所受的力必等值、反向、共线,且沿杆两端连线方向,如图1-4(b)、(c)所示。

仅在两个力作用下处于平衡的构件称为二力构件或二力杆件,简称二力杆。二力杆与其本身形状无关,它可以是直杆、曲杆或折杆。

二、加减平衡力系公理

在作用于刚体的任意力系上,加上或减去平衡力系,并不改变原力系对刚体的作用效应。

该公理的正确性是显而易见的。因为平衡力系中的各力对于刚体的运动效应抵消,从而使刚体保持平衡。所以,在一个已知力系上,加上或减去平衡力系不会改变原力系对刚体的作用效应。

该公理表明,如果两个力系只相差一个或几个平衡力系,则它们对刚体的作用效应是相同的,因此可以等效替换。不难看出,加减平衡力系公理也只适用于刚体,而不能用于变形体。

三、力的平行四边形法则

作用于物体上的同一点的两个力,可以合成为作用于该点的一个合力。合力的大小和方向,由这两个力为邻边所构成的平行四边形的对角线表示。

如图1-5(a)所示,F1、F2为作用于物体上A点的两个力,以力F1和F2为邻边作平行四边形ABCD,其对角线AC表示两共点力F1与F2的合力FR。合力矢与分力矢的关系用矢量式表示为

即合力矢等于这两个分力矢的矢量和。

力的平行四边形法则可以简化为力三角形法则,如图1-5(b)、(c)所示。力三角形的两边由两分力矢首尾相连组成,第三边则为合力矢FR,它由第一个力的起点指向最后一个力的终点,而合力的作用点仍在二力交点。

将力的平行四边形法则加以推广,可以得到求平面汇交力系合力矢量的力多边形法则。平面汇交力系：各力作用线的延长线相交于一点的平面力系。

设刚体受平面汇交力系作用如图1-6(a)所示,根据力的平行四边形法则将这些力两两合成,最后求得一个通过力系汇交点O的合力FR。若连续应用力三角形法则将各分力两两合成求合力FR的大小和方向,则更为简便。如图1-6(b)所示,分力矢与合力矢构成的多边形abcde称为力多边形。由图可知,作图时不必画出中间矢量FR1、FR2,只需按比例将各分力矢首尾相接组成一开口的力多边形,而合力矢则沿相反方向连接此缺口,构成力多边形的封闭边。合力的作用线通过力系的汇交点。由于矢量加法符合交换率,故可以任意变换各分力的作图次序,所得的结果是完全相同的,如图1-6(c)所示。综上所述,可得出如下结论：平面汇交力系合成的结果是一个通过汇交点的合力,合力的大小和方向由力多边形的封闭边确定,即合力矢等于各分力矢的矢量和。用矢量式可表示为

根据力的平行四边形法则也可将一力分解为作用在同一点的两个分力。以该力为对角线作平行四边形,其相邻两边即表示两个分力的大小和方向,如图1-7(a)所示。由于用同一对角线可作出无穷多个不同的平行四边形,因此解答是不确定的。工程实际中,常将一个力F沿直角坐标系x、y分解,得到两个相互垂直的分力Fx、Fy,如图1-7(b)所示。

四、作用与反作用定律

两个物体相互作用的力总是同时存在的,两力的大小相等,方向相反,沿着同一直线,分别作用在这两个物体上。

本公理揭示了两物体间相互作用力的定量关系。表明了作用力与反作用力总是成对出现的,并同时消失的。

如图1-8(a)所示,重为FG1的电动机A安装在基础B上,基础B重为FG2,搁置在地基C上。各物体受力为：电动机受有重力FG1和基础B的作用力N1；基础B受有电动机的压力、重力FG2和地基C的作用力N2；地基受有基础B的作用力。其中,N1、是分别作用在电动机A和基础B上的作用力与反作用力,N1＝-；N2、是分别作用在基础B和地基上的作用力与反作用力,N2＝-；重力FG1、FG2的反作用力则作用在地球上(图中未画出)。今后,作用力与反作用力用同一字母表示,但其中之一在字母的右上方加“'”表示。

应当注意的是,必须把两个平衡力和作用力与反作用力严格区别开来。它们虽然都满足等值、反向、共线的条件,但前者作用在同一刚体上,而后者是分别作用在两个物体上的,它们不符合二力平衡条件,不能构成平衡力系。

根据上述静力学公理可以导出下面两个重要推论：

推论1：力的可传性。

作用于刚体上某点的力,可以沿着它的作用线移到刚体上任一点,并不改变该力对刚体的作用效应。

证明：设力F作用在刚体上A点,如图1-9(a)所示。在力F作用线上任取一点B,根据加减平衡力系公理,在B点加上一对平衡力F1和F2,且使力矢F1＝-F2＝F,如图1-9(b)所示。由于F与F2构成平衡力系,故可以去掉,只剩下一个力F1,如图1-9(c)所示。于是,原来作用于A点的力F与力系(F,F1,F2)等效,也与作用在B点的力F1等效。这样,就等于把原来作用在A点的力F沿其作用线移到了B点。

力的可传性易为实践所验证。如若保持力的大小、方向和作用线不变,用手推车和拉车的运动效果是完全一样的。由此可见,对于刚体而言,力的作用点已不是决定其效应的要素,它已为力的作用线所代替。因此,作用于刚体上力的三要素是：力的大小、方向和作用线。

需要指出的是,力的可传性只适用于刚体,对于变形体并不成立。如图1-10(a)所示的可变形杆,在A、B两端作用等值、反向、共线的拉力时,杆将产生伸长变形。如果将力F1、F2易位,如图1-10(b)所示,显然杆将产生压缩变形。

推论2：三力平衡汇交定理。

刚体在三个力作用下处于平衡时,若其中两个力的作用线汇交于一点,则第三个力的作用线必通过该点,且三力共面。

证明：在刚体的A1、A2、A3三点上,分别作用着相互平衡的三个力F1、F2、F3,如图1-11所示。设力F1与F2的作用线相交于O点。根据力的可传性,将力F1和F2移到汇交点,然后由力的平行四边形法则得到此二力的合力FR12,则力F3与FR12平衡。由二力平衡公理可知,F3与FR12必共线,所以力F3的作用线必通过O点并与力F1和F2共面。定理得证。

三力平衡汇交定理对于三力平衡是必要条件,并不充分。它常用来确定刚体在不平行三力作用下平衡时,其中某一未知力的作用线。