3.6 液体无旋流动

当液体微团旋转角速度的3个分量ωx=ωy=ωz=0时，即

则该流动为无旋流动，也称有势流动。

严格地说，黏性液体的运动都是有旋流动，只有在液体为不可压缩理想液体，运动初始无旋时，液体才将继续保持无旋流动。在实际流动中，水库中的静水，因闸门开启形成的闸孔出流或堰流；以及水绕物体流动时，在边界层外的广阔区域内的流动，都可视为无旋流动。

3.6.1 速度势函数

当液流为无旋流动时，流场中各点的旋转角速度ω=0，即ω的3个分量ωx=ωy=ωz=0，由式 （3.34）得：。由高等数学中的曲线积分定理可知，前式是uxdx+uydy+uzdz存在全微分的充分和必要条件，于是一定存在某一函数φ（x，y，z）满足关系式：

而φ(x，y，z)的全微分又可写为

比较上式与式（3.35）可得

由高等数学可知，函数φ称为速度u的势函数，简称速度势函数。由此可见，无旋流动必然存在速度势函数，故无旋流动又称有势流动。对无旋流动，一旦求出速度势函数，由式（3.36）即可求得流场的速度分布，进而解得流场的压强分布，问题得到解决。

速度势函数具有以下主要性质。

（1）存在速度势函数φ的流动一定是无旋流动。若流动存在势函数φ，则有

将其代入旋转角速度ωx=中，可得

同样可证，ωy=ωz=0，故存在速度势函数φ的流动一定是无旋流动。

（2）等势面与流线正交。速度势函数值相等的点连成的空间曲面称为等势面。等势面方程可写为

式中 C——常数。

如图3.21所示，在等势面上任取一点A，并在等势面上A点的邻域内另取点B，从A点到B点的矢量记为dl，设矢量dl在3个坐标轴上投影分别为dx、dy、dz，则dl=dxi+dyj+dzk。A点处速度矢量u=uxi+uyj+uzk，则

式中dφ为A、B两点势函数之差，由于A、B两点在同一等势面上，因而这两点势函数值相等，即dφ=0，u·dl=0，说明矢量u与dl正交。因B点在等势面上的位置事实上是任意的，则速度矢量u与过A点的曲面上任意微线段均正交，即u在A点与等势面正交。通过A点的流线与A点处速度矢量相切，由此可知等势面必与流线正交，等势面就是过水断面。

（3）速度势函数是调和函数。将式 （3.36）代入不可压缩液体三维流动的连续性方程，可得

Δ2称为拉普拉斯算子，式（3.38）是拉普拉斯方程。速度势函数φ满足拉普拉斯方程，为调和函数。

3.6.2 流函数

液体三维流动一般不与流函数这一概念相联系，而对于不可压缩液体的平面流动，流函数ψ却是一个很重要的概念。设液流作xOy平面运动，对于不可压缩液体，其连续性微分方程为

移项得

根据高等数学中的曲线积分定理，上式是表达式-uydx+uxdy成为某一函数ψ（x，y）的全微分的充分和必要条件：

而ψ(x，y) 的全微分又可写为

比较上式与式（3.39）可得

函数ψ(x，y)称为流函数。由流函数的引出条件可知，对于不可压缩液体的平面流动，只要连续性微分方程成立，不论无旋流动或有旋流动，都存在流函数。

流函数具有以下主要性质：

（1）同一流线的流函数ψ是常数，流函数的等值线是流线。液体平面流动的流线方程为

即-uydx+uxdy=0

比较上式和式（3.35）可得，沿流线：

dψ=-uydx+uxdy=0

ψ(x，y)=∫dψ=∫-uydx+uxdy=C

上式中C为常数。故同一流线的流函数是常数，流函数的等值线是流线。给流函数以不同值，便得到流线簇。

（2）不可压缩液体平面流动中，两条流线的流函数的差值，等于通过该两条流线间的单宽流量，如图3.22所示，在流函数值为ψA、ψB的两条流线间，任作曲线AB，在AB上沿A到B的方向取有向微元线段dl，其流速为u。设dl在x和y轴方向的投影为dx和dy，u在x和y轴方向的投影为ux和uy，取dx、dy、ux、uy与x、y轴的正向同向为正，由图3.16可知，dx、dy、ux为正、uy为负。因是平面流动，在z方向可取单位宽度，则流过dl微元曲面的流量称为单宽流量，以dq表示。dl微元曲面可视为平面，有

dq=-uydx+uxdy

对比式（3.35），可得

dq=-uydx+uxdy=dψ

则通过两流线间的单宽流量为

（3）平面有势流动，流函数是调和函数。对于xOy平面有势流动：

将代入上式，得

平面有势流动的流函数ψ满足拉普拉斯方程，为调和函数。

比照式（3.36）和式（3.40），可得平面有势流动势函数和流函数的关系：

φ和ψ的这一关系，在数学上称为柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件。φ、ψ满足拉普拉斯方程和柯西-黎曼条件，是一对共轭调和函数。

当势流的流速分布未知时，可以根据液流的边界条件和初始条件，解φ或ψ的拉普拉斯方程，从而求得流速场，再设法求其压强场。

【例3.5】 不可压缩液体平面流动，速度分布为ux=4x+1，uy=-4y。试求：（1）判断速度势函数φ、流函数ψ是否存在?（2）若φ、ψ存在，求φ、ψ。

解：（1）因=4-4=0，流动满足连续性方程，故流函数ψ存在。

因ωz==0，流动有势，故势函数φ存在。

（2）因dφ=uxdx+uydy=（4x+1）dx+（-4y）dy

dψ=-uydx+uxdy=4ydx+(4x+1)dy

由高等数学知识可知，速度势函数φ和流函数ψ可以通过积分获得，而且积分结果都与积分路径无关，在任意起点（x0，y0）与终点（x，y）之间，可选择最简单的两段路径积分。由于积分常数C对流场无影响，一般取C=0。

3.6.3 速度势函数和流函数的极坐标表达式

有些平面势流采用极坐标来分析要方便得多。下面介绍速度势函数φ和流函数ψ的极坐标表达式。

取平面直角坐标系原点与极坐标系原点重合，平面直角坐标系的x轴与极坐标系的极轴重合，则平面直角坐标（x，y）与极坐标（r，θ）有如下关系：

已知速度势函数的直角坐标表达式：

dφ=uxdx+uydy

对上式进行坐标变换，便可得到速度势函数的极坐标表达式:

同理可得流函数的极坐标表达式:

3.6.4 基本平面势流

基本平面势流一般是指流场变化简单，通过对流场的直观分析，便可得到速度势函数和流函数的简单势流。利用基本平面势流叠加，能够得到许多复杂平面势流的速度势函数和流函数。

1.均匀等速流动

均匀等速流动是流场中各点速度大小相等，方向相同的流动，是最简单的平面势流。

设xOy平面上的均匀等速流动，速度方向与x轴的正向一致，速度大小ux=U0（U0为常数），uy=0。则

dφ=uxdx+uydy=U0dx

积分上式即可得到速度势函数:

积分上式即可得到流函数:

由式（3.47）可知，均匀流的等势线方程为

φ=U0x=C1

式中C1为常数，等势线为平行于y轴的一簇直线。

由式（3.48）可知，均匀流的流线方程为

ψ=U0y=C2

式中C2为常数，流线为平行于x轴的一簇直线。

2.源流与汇流

如图3.23（a）所示，假设不可压缩液体从平面上的一点O流出，均匀地向四周作径向直线流动，这样的流动称为源流，O点称为源点，由源点流出的单位厚度流量q称为源流强度。

把源看作一个点，则任意点M（r，θ）的流速为

由式（3.43），可得

积分得

由式（3.45），可得

积分得:

由式（3.49）可知，源流的等势线方程为

式中C1为常数，等势线是以O点为圆心的同心圆。

由式（3.50）可知，源流的流线方程为

式中C2为常数，流线是由O点引出的射线。

平面直角坐标系下，源流的速度势函数与流函数分别为

如图3.23（b）所示，假设不可压缩液体从四周沿径向均匀地流入点O。这样的流动称为汇流，O点称为汇点，流入汇点的单位厚度流量称为汇流强度，以-q表示。显然，汇流的速度势函数和流函数公式与源流相同，符号相反，即

平面直角坐标系下，汇流的速度势函数与流函数：

源流和汇流是一种理想化的流动，在源点或汇点r→0，ur→∞是不可能的，这样的点称为奇点。忽略原点附近的影响，工程中注水井向地层注水，可看作是源流流动，地下水从四周向汲水井汇集，可看作是汇流流动。

3.环流

不可压缩液体绕固定点作圆周运动，且速度与圆周半径成反比，这样的流动称为环流。如图3.24所示，将坐标原点置于环流中心，由于环流的流线为一簇同心圆，因此任一点M（r，θ）的径向流速ur=0。则沿流线的速度环量：

Γ为沿环流流线的速度环量，称为环流强度。Γ是不随半径r变化的常数，Γ＞0时环流逆时针旋转，Γ＜0时环流顺时针旋转。

任意点M（r，θ）的流速:

由式（3.39），可得

积分得

由式（3.45），可得

积分得

令速度势函数与流函数等于常数，得到等势线是通过原点的极角不同的射线，而流线是以坐标原点为圆心的同心圆。

平面直角坐标系下，环流的速度势函数与流函数：

3.6.5 势流的叠加

可叠加性是势流的重要特性之一。几个基本平面势流叠加组合成较为复杂的流动仍为势流，简称复合势流。复合势流的速度势函数φ等于几个基本平面势流的速度势函数φ1、φ2、…、φn的代数和，它的流函数ψ等于几个基本平面势流的流函数ψ1、ψ2、…、ψn的代数和，它的速度u等于几个基本平面势流的速度u1、u2、…、un的矢量和，即

φ=φ1+φ2+…+φn

ψ=ψ1+ψ2+…+ψn

u=u1+u2+…+un

上述即为势流叠加原理。在工程实际中常利用势流叠加原理来解决一些较为复杂的势流问题。

1.均匀等速流和源流的叠加

设无穷远处均匀等速流速度为U0，平行于x轴，为简便起见，将点源放在坐标原点，如图3.25所示。

均匀等速流的速度势函数和流函数:

φ1=U0x=U0rcosθ

ψ1=U0y=U0rsinθ

源流的速度势函数和流函数:

均匀等速流与源流叠加后的复合势流，其速度势函数和流函数:

复合势流的速度:

令uθ=0，可得θ=0或θ=π。

令ur=0，可得r=，当θ=0时，r＜0，显然这是不可能的，所以驻点S的坐标为θ=π，rs=。

将驻点坐标代入式 （3.59），得流函数，即复合势流通过驻点的流线的流函数值为，则通过驻点的流线方程为

给出各θ值，即可由上式绘出通过驻点的流线BSC，如图3.19所示，其中：

当。

当θ=π时，。

当θ→0或θ→2π时，流线以为渐近线。

注意：θ=π时，sinθ=0，由式（3.63）可得，r为任何值时该式都能满足，故通过驻点S的流线除了BSC段，水平线AS也是流线的一部分。

如图3.25所示，流线BSC将流场分为两个流区，内部流区为源流，外部流区为均匀流，两者互不相混，因此流线BSC可看作是一条分水线。若用固体边界如桥墩的轮廓线来代替分水流线BSC，外部流线图就是均匀流绕桥墩时的流动图形。

2.等强度源流和汇流的叠加——偶极子流

在平面直角坐标系的点（-a，0）处设一源流，强度为q，点（a，0）处设一汇流，强度为-q，其中a＞0，q＞0。因式（3.51）、式（3.52）、式（3.55）、式（3.56）是源流与汇流位于坐标原点时速度势函数和流函数的直角坐标表达式，若源流和汇流不在坐标原点而在平面上点（x0，y0）处时，则源流的速度势函数和流函数分别为

汇流的速度势函数和流函数分别为

根据势流叠加原理，即可得此处源流与汇流所叠加的复合势流的速度势函数和流函数：

设源点与汇点沿x轴无限接近，即令2a→0，同时设q无限增长，这样就能保证乘积2aq始终保持为一常数M，M=2aq。这一极限状态下源汇产生的平面流动称为偶极子流，M称偶极子强度（M>0）。在a→0和q→∞的条件下，偶极子流动的势函数与流函数为

利用平面直角坐标与极坐标的关系，可以得到偶极子流动的速度势函数与流函数的极坐标表达式:

下面讨论偶极子流动的等势线和流线的特征：

令式（3.64）等于常数C，方程简化后可以得到等势线方程为

等势线是圆心在，半径为的圆，圆与y轴相切于原点。当C＞0时，圆位于y轴右侧，否则位于y轴左侧。

令式（3.65）等于常数D，方程简化后可以得到流线方程为

流线是圆心在，半径为的圆，圆与x轴相切于原点。当D＞0时，圆位于x轴下方，否则位于x轴上方。

这样所到的等势线组与流线组是正交的，如图3.26所示。