第二节　点的坐标与向量的坐标

一、内容提要

1．空间直角坐标系

坐标轴：在空间取一个顶点O，过点O作三个两两垂直的单位向量i，j，k，就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴，依次记为x轴（横轴），y轴（纵轴），z轴（竖轴），统称为坐标轴．

坐标系：三条坐标轴的正向符合右手法则，就组成了空间直角坐标系，oxyz坐标系或［o；i，j，k］坐标系．

坐标面：每两条坐标轴确定的平面称为坐标平面，简称为坐标面．

卦限：三个坐标面将空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限．

2．坐标

点的坐标：有序数组（x，y，z）就称为点M的坐标，记为M（x，y，z），x，y，z依次分别称为横坐标，纵坐标和竖坐标．

向量的坐标：有序数组x，y，z为向量r的坐标，记为r＝（x，y，z）．

3．向量线性运算的坐标表示

设a＝（a_x，a_y，a_z），b＝（b_x，b_y，b_z），即a＝a_x i＋a_y j＋a_z k，b＝b_x i＋b_y j＋b_z k从而有　a＋b＝（a_x＋b_x，a_y＋b_y，a_z＋b_z）a－b＝（a_x－b_x，a_y－b_y，a_z－b_z）λa＝（λa _x，λa _y，λa _z）．

4．方向角、方向余弦

方向角：为了表示非零向量r的方向，我们把r与x轴，y轴，z轴正向的夹角分别记为α，β，γ，称为向量r的方向角．

方向余弦：方向角的余弦cosα，cosβ，cosγ叫作r的方向余弦．

5．向量在轴上的投影

任给定向量r，作，再过点M作与u轴垂直的平面，交u轴于点M′，则称点M′为点M在u轴上的投影，而向量称为向量r在u轴上的分向量．设，则数λ称为向量r在u轴上的投影，记为prj_ur或r_u．

二、基本要求

1．理解空间直角坐标系．

2．掌握点、向量、单位向量、方向角、方向余弦的坐标表达式．

3．掌握运用坐标表达式进行向量运算的方法．

三、疑难解析

1．确定向量坐标的常用方法有哪些？

答：求向量的坐标一般要根据所给定的条件来确定，常用的方法有以下几种：

（1）如果已知向量a的起点坐标为A（x ₁，y₁，z₁）及终点坐标B（x ₂，y ₂，z₂），则a＝（x2－x1，y 2－y 1，z2－z1）．

（2）如果已知向量a按基本单位向量的分解式为a＝x i＋y j＋z k，则a＝（x，y，z）．

（3）当向量a的模及方向角α，β，γ已知时

（4）当向量a与b＝（x，y，z）平行时，a＝（λx，λy，λz），其中λ的值要由a的模及方向来确定．

（5）根据向量的数量积和向量积的性质确定．

2．若已知向量的方向余弦分别满足

（1）cosα＝0；（2）cosβ＝1；（3）cosα＝cosβ＝0．

则这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？

答：（1）设该向量为a，因为cosα＝0，α＝，故a⊥ox轴或a∥yoz面．

（2）因为cosβ＝1，所以β＝0，故a∥oy轴且a方向与y轴正向一致，或a⊥xoz面并与y轴正向一致．

（3）因为cosα＝cosβ＝0，所以α＝β＝，故a∥oz轴，或a⊥xoy面．

四、典型范例

例1　从点A（2，－1，7）沿向量a（8，9，－12）方向取长为34的线段AB，求点B的坐标．

解　　设点B坐标为（x，y，z），则＝（x－2，y＋1，z－7）．由于与a方向一致，故存在实数λ＞0，使＝λa，即（x－2，y＋1，z－7）＝λ（8，9，－12），得x－2＝8λ，y＋1＝ 9λ，z－7＝－12λ．

又，17λ＝34，得λ＝2．所以x＝8λ＋2＝18，y＝9λ－1＝17，z＝－12λ＋7＝－17

B点坐标为（18，17，－17）．

例2　已知a＝（1，5，3），b＝（6，－4，－2），c＝（0，－5，7），d＝（－20，27，－35）．求数x，y，z使向量x a，y b，z c及d可构成封闭折线．

解　　按题意，只要x a＋y b＋z c＋d＝0，得

例3　向量与x轴成45°，与y轴成60°，它的长度等于6，它在z轴上的坐标是负的，求向量坐标及沿方向的单位向量．

解　　设沿方向的单位向量为a，又设对应的方向余弦为cosα，cosβ，cosγ，则a＝｛cosα，cosβ，cosγ｝，并且

又因在z轴上的坐标为负的，所以cosγ＜0，故

五、习题选解

6．在yoz面上，求与三点A（3，1，2），B（4，－2，－2）和C（0，5，1）等距离的点．

解　在yoz面上，设点P（0，y，z）与A，B，C三点等距离

故所求点为（0，1，－2）．

7．已知向量a在坐标轴上的投影为a _x＝1，a_y＝－1，a_z＝1，向量a的终点为M ₂（1，－1，1）．求向量a的起点M ₁，及a的方向角．

设M ₁（x ₁，y ₁，z₁），则（1－x ₁，－1－y ₁，1－z ₁）＝（1，－1，1），所以M₁（0，0，0），

8．设点A位于第一卦限，向径轴，y轴的夹角依次为．求点A的坐标．

因为A在第Ι卦限，知cosγ＞0，故cosγ＝1 2

9．求与向量a＝（16，－15，12）平行，方向相反，且长度为75的向量b．

解　因为b与a平行且方向相反，则b＝－λa＝（－16λ，15λ，－12λ），（λ＞0）

得λ＝3，故所求向量b＝（－48，45，－36）

10．已知，r与轴u的夹角是60°，求prj_ur．