1.数的历史

我们现在理解数的概念是理所当然的，但“数”其实是很抽象的。在《牛津现代高级英汉双解词典》中，英文“数字”一词“digit”除表示（从0到9的任何一个）数字的含义以外还有手指、拇指、脚趾的意思，这是不是跟婴儿数着手指头建立数的概念有关系呢？

因为数本身是一个抽象的概念，回想我们刚接触数时，也是花了很长的时间才建立起数的概念。我们对数的认知基本浓缩了人类系统化地建立数的概念的过程，也是先从自然数开始，然后是理解分数和小数，到了初中，才有了负数的概念。当我们的抽象思维能力提高以后，开始建立有理数和无理数的概念，数的范围进一步扩充为实数。到了高中阶段，为了理解方程式，又引入了虚数，我们头脑中才最终建立了复数的概念。

● 自然数

自然数集是全体非负整数组成的集合，即用数字0，1，2，3，4，…所表示的数，数学上一般用N来表示自然数的集合。自然数是人类历史上最早出现的数，在计数和测量中有着广泛的应用，人们常常用自然数来给事物标号或排序，如城市的公共汽车路线、门牌号码、邮政编码等。自然数有无穷个，所以没有最大的自然数。

但数字“0”是否应包括在自然数之内？这在数学史上还曾经存在过争议，有人认为计数自然要从1开始算起，所以自然数应该只包括正整数，也有人认为表示“从无到有”的“0”也算是“自然而然”的数，所以自然数应该包含“0”。

在2000年之前，我国的中小学教材一般不将0列入自然数之内，但有些国家和地区的教科书是把0也算作自然数的，这本是一种人为的规定。后来，我国参照国际标准，在2000年之后的新版中小学教材中，开始将0列入自然数的序列。

● “0”的发现

“0”是极为重要的数字，“0”的发现被称为人类伟大的发现之一。约公元前2000年，古印度最古老的文献材料“吠陀”中已有“0”这个符号的应用，当时的“0”表示无（空）的位置。标准的数字“0”由古印度人在约公元5世纪时发明，他们最早用黑点“·”表示零，后来逐渐变成了“0”。7世纪初，印度大数学家葛拉夫·玛格蒲达首先说明了0个“0”是“0”，任意数加上0或减去0得任意数。

1202年，意大利出版了一本重要的数学书籍——《算法之书》，书中广泛使用由阿拉伯人改进的印度数字，标志着新数字在欧洲开始使用。这本书共分十五章。书中有记载：印度的9个数目字是“9、8、7、6、5、4、3、2、1”，用这9个数字以及阿拉伯人叫作“零”的记号“0”，可以表示出来任何数。由于一些原因，“0”这个符号在最初被引入西方时，曾经引起西方人的困惑，因当时西方认为所有的数都是正数，而且“0”这个数字会使很多算式、逻辑不能成立（如除以0），有人甚至认为“0”是魔鬼数字。不过，有了“0”确实很方便，特别是后来发明了用位权表示数的进制，“0”的作用就更不可替代了。

● 分数

随着生产、生活的需要，人们发现，仅能表示自然数是远远不够的。在分割土地，表示一段绳子的长度、一块肉或一袋面粉的重量时，自然数就不够用了。也就是说，人们在生产和生活中开始使用尺子、量器和秤的时候，分数就应运而生了。中国古代的数学著作《九章算术》最早论述了分数运算的系统方法。

● 负数

同样，人们在生活中也经常会遇到各种意义相反的数。比如，在记账时有盈有亏；在计算粮仓存米时，有时要记进粮食，有时要记出粮食。为了方便，人们就考虑用意义相反的数来表示，于是引入了正数、负数这两个概念，把余钱、进粮食记为“正”，把亏钱、出粮食记为“负”。魏晋时期的学者刘徽首先给出了正数和负数的定义，他所著的《九章算术注》中注有：“今两算得失相反，要令正负以名之。”意思是说，在计算过程中遇到具有相反意义的数，要用正数和负数来区分它们。

● 有理数

小学生第一次接触到有理数的概念时，难免感到费解，这种数为什么就“有理”了？还有，别的数为什么就“无理”了？这其实是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来的，用英语表示为rational number，而rational通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作时，借鉴日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。追根溯源，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思（这个词的词根虽然是英语中的，但希腊语意义与之相同）。所以这个词的本义也很清楚，就是代表整数的“比率”，即可以表示为两个整数之比的数。与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理的意思。

数学上，有理数准确的定义是一个正整数a和一个正整数b的比，例如3/8，另外，0也是有理数。由于所有整数都可以表示成“n/1”的形式，所以有理数是整数和分数的集合，整数也可看作分母为1的分数。有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。而不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。

● 无理数

毕达哥拉斯是古希腊伟大的数学家。他证明过许多重要的定理，包括后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理（勾股定理），即直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。

在古希腊，毕达哥拉斯将数学扩展到哲学领域，他用数的观点去解释世间万物。毕达哥拉斯发现，琴弦的长度反比于琴弦的频率，两个长度呈简单整数比的琴弦能够发出和谐的声音。他将弦长比分别为2:1，3:2，4:3时发出的，相隔纯八度、纯五度、纯四度的音程定义为完美的协和音程。弦长与频率的关系如下图所示。然后，他以一根固定长度的琴弦为基础，以这些“完美比值”制作了其他的琴弦。毕达哥拉斯用这种方法创造了一套互相之间有着明确数学关系的音律，称作“五度相生律”。这套音律不仅成为毕达哥拉斯学派各种艺术活动中的基石，甚至流传至后世，一直影响着现代的音乐理论。

经过进一步的理论升华，毕达哥拉斯进一步提出了“万物皆为数”的观点。毕达哥拉斯及其学派认为：数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世间万物没有不能用数来表示的，数本身就是世界的秩序（依靠数的比例）。他们甚至认为：宇宙和谐的基础是完美的数的比例，所有数都能通过分数的形式表示出来。

这里的“万物皆为数”显然就是指有理数了，因为它们都“能够通过分数的形式表示出来”，这个数要能够写出来，要么用整数，要么用分数。然而，毕达哥拉斯的弟子希帕索斯发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的，所谓“公度”是一个几何学概念。对于两条线段a和b，如果存在线段d，使得a＝md，b＝nd（m、n为自然数），那么称线段d为线段a和b的一个“公度”。举个例子，正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数，很容易算出这个对角线长度为。

其实，欧几里得的《几何原本》中提出一种证明无理数的经典方法：

证明：是无理数

假设不是无理数

∴是有理数

令（p、q互质且p≠0，q≠0）

两边平方得

即

通过移项，得到：2q2＝p2

∴p2必为偶数

∴p必为偶数

令p＝2m

则p2＝4m2

∴2q2＝4m2

化简得q2＝2m2

∴q2必为偶数

∴q必为偶数

综上，q和p都是偶数

∴q、p互质与且q、p为偶数相互矛盾，故原假设不成立

∴为无理数

这种不可公度性与毕达哥拉斯学派的“万物皆为数”（指有理数）的理论显然是矛盾的。希帕索斯思考了很久也没想出如何解释这个怪现象，他对自己的发现既惊奇又惊骇，因为他自己最初也坚信老师毕达哥拉斯“万物皆为数”的观点。他不敢对外宣称自己发现了一种奇怪的数，只好告知了毕达哥拉斯，由他定夺。

这一发现使毕达哥拉斯感到惶恐，因为这将动摇他在学术界的统治地位。毕达哥拉斯第一时间下令封锁了消息，警告希帕索斯不要再研究这个问题，并称希帕索斯是学派的叛徒，准备处置他。希帕索斯被迫流亡他乡，不幸的是，他还是被毕达哥拉斯的门徒追上，并被投尸大海，葬身鱼腹，为坚持真理献出了生命。

然而真理毕竟是掩盖不了的，毕达哥拉斯学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希帕索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可公度的量取名为“无理数”——这就是无理数的由来。

实际上，希帕索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了有理数并没有布满数轴上的点，不能与连续的无限直线等同看待，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直“不可胜数”。

在数学中，无理数是所有不是有理数的实数，当两个线段的长度之比是无理数时，这样的线段被描述为不可测量（公度），这意味着它们无法“比较”。所以，无理数不能被写成两个整数之比，若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无穷多个，并且不会循环。常见的无理数有非完全平方数的平方根、圆周率π和自然底数e等。

不可公度的本质是什么？长期以来众说纷纭，得不到正确的解释，两个不可公度的比值也一直被认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达•芬奇称这样的数为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称它们为“不可名状”的数。不可公度的发现促使人们从依靠直觉、经验来判断事物而转向依靠证明，推动了公理几何学和逻辑学的发展，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，并且促使了微积分思想的萌芽。

● 实数

由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪后期。1872年，实数的三大派理论，即戴德金“分割”理论、康托尔的“基本序列”理论及维尔斯特拉斯的“有界单调序列”理论，同时在德国出现。戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数；康托尔用有理数的基本列的方法来界定无理数；维尔斯特拉斯用无穷（非循环）十进制小数的方法及端点为有理点的闭区间套和有界单调有理数列的方法，建立了多种形式上不同，而实质上等价的严格的实数理论。他们都是首先从有理数出发去定义无理数，即数轴上有理点之间的所有空隙（无理点），都可以由有理数经过一定的方式来确定，然后证明这样定义的实数具有人们原来熟知的实数所应有的一切性质，特别是连续性。实数的三大派理论从本质上对无理数给出了严格定义，从而建立了完备的实数域。实数域的构造成功，使古希腊人的算术连续统一的设想，终于在严格的科学意义下得以实现，结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。

● 虚数与复数

在数学中，复数就是形如a+bi的数，其中a、b是实数，且b≠0，i2＝-1，实数a和b分别被称为复数的实部和虚部。之所以用字母“i”，原因是虚数的本义是“imaginary number”，即想象的、虚构的数字。虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创立的，因为当时的观念认为这不是真实存在的数字。后来发现复数a+bi的实部a可对应平面上的横轴，虚部b对应平面上的纵轴，这样复数a+bi可与平面内的点（a，b）对应。

复数的建立，经历了一个漫长的过程。1637年，法国数学家笛卡尔正式使用“实数”和“虚数”这两个名词。此后，德国数学家莱布尼茨、瑞士数学家欧拉和法国数学家棣莫弗等研究了虚数与对数函数、三角函数之间的关系。除了用于解方程，数学家还把复数应用于微积分，得出很多有价值的结果。欧拉还首先用i来表示-1的平方根。

1797年，挪威数学家维赛尔在平面中引入数轴，以实轴和虚轴所确定的平面向量表示这类新数，不同的向量对应不同的点，因而表示的复数也互不相同。他还用几何术语定义了这类新数与向量的运算，建立了平行四边形法则，这实际上已经揭示了这类新数及其运算的几何意义，但在当时未引起人们的注意。

1816年，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时应用并论述了这类新数，而且首次引进“复数”这个名词，把复数和复平面内的点一一对应起来，从而建立了复数的几何基础。

1837年，爱尔兰数学家哈密顿用有序实数对（a，b）定义了复数及其运算，并说明复数的加、乘运算满足实数的运算定律；实数则被看成特殊的复数（a，0）。这样，历经300年的努力，数系从实数系向复数系的扩张才得以完成。