1.3 有向量的地方，就有几何

数据云、投影

取出鸢尾花前两个特征，即花萼长度和花萼宽度所对应的数据，把它们以坐标的形式画在平面直角坐标系（记做）中，我们便得到平面散点图。如图1.6所示。这幅散点图好比样本“数据云”。

图1.6中数据点（5.0, 2.0）可以写成行向量[5.0, 2.0]。（5.0, 2.0）是序号为61的样本点，对应的行向量可以写成x（61）。

从几何视角来看，[5.0, 2.0]在横轴的正交投影（orthogonal projection）结果为5.0，代表该点的横坐标为5.0。[5.0, 2.0]在纵轴的正交投影结果为2.0，代表其纵坐标为2.0。

正交（orthogonality）是线性代数的概念，是垂直的推广。正交投影很好理解，即原数据点和投影点连线垂直于投影点所在直线或平面。打个比方，头顶正上方阳光将物体的影子投影在地面，而阳光光线垂直于地面。如无特别强调，本书的投影均指正交投影。

从集合视角来看，（5.0, 2.0）属于平面，即（5.0, 2.0）∈。图1.6中整团数据云都属于。再者，如图1.6所示，从向量角度来看，行向量[5.0, 2.0]在横轴上投影的向量为[5.0, 0]，在纵轴上投影的向量为[0, 2.0]。而[5.0, 0]和[0, 2.0]两个向量合成就是[5.0, 2.0]=[5.0, 0]+[0, 2.0]。

再进一步，将图1.6整团数据云全部正交投影到横轴，得到图1.7。图1.7中×代表的数据实际上就是鸢尾花数据集第一列的花萼长度数据。图1.7中的横轴相当于一个一维空间，即数轴。

我们也可以把整团数据云全部投影在纵轴，得到图1.8。图中的×是鸢尾花数据第二列的花萼宽度数据。

投影到一条过原点的斜线

你可能会问，是否可以将图1.7中所有点投影在一条斜线上？

答案是肯定的。

如图1.9所示，鸢尾花数据投影到一条斜线上，这条斜线通过原点，与横轴夹角为15°。观察图1.9，我们已经发现投影点似乎是x₁与x₂的某种组合。也就是说，x₁和x₂分别贡献v₁x₁和v₂x₂，两种成分的合成v₁x₁+v₂x₂就是投影点坐标。v₁x₁+v₂x₂也叫线性组合（linear combination）。

三维散点图、成对特征散点图

取出鸢尾花前三个特征（花萼长度、花萼宽度、花瓣长度）对应的数据，并在三维空间绘制散点图，得到图1.10所示的散点图。而图1.6相当于图1.10在水平面（浅蓝色背景）的正交投影结果。

回顾鸢尾花书《数学要素》一册介绍过的成对特征散点图，具体如图1.11所示。成对特征散点图不仅可视化鸢尾花的四个特征（花萼长度、花萼宽度、花瓣长度和花瓣宽度），而且通过散点颜色还可以展示鸢尾花的三个类别（山鸢尾、变色鸢尾、弗吉尼亚鸢尾）。图1.11中的每一幅散点图相当于四维空间数据在不同平面上的投影结果。

统计视角：移动向量起点

如图1.12所示，本节前文行向量的起点都是原点，即零向量0。而平面这个二维空间则“装下”了这150个行向量。

但是，统计视角下，向量的起点移动到了数据质心（centroid）。所谓数据质心就是数据每一特征均值构成的向量。

这一点也不难理解，大家回想一下，我们在计算方差、均方差、协方差、相关性系数等统计度量时，都会去均值。从向量角度来看，这相当于移动了向量起点。

如图1.13所示，将向量的起点移动到质心后，向量的长度、绝对角度（如与坐标系横轴夹角）、相对角度（向量两两之间的夹角）都发生了显著变化。

将图1.13整团数据云质心平移到原点，这个过程就是去均值过程，结果如图1.14所示。数据矩阵X去均值化得到的数据矩阵记做X_c，显然X_c的质心位于原点（0，0）。去均值并不影响数据的单位，图1.14横轴、纵轴的单位都是厘米。