2.2.1 基本概念

LDPC码的特征是校验矩阵为稀疏矩阵，即1的个数很少，0的个数很多。Gallager最早设计的 LDPC 码是一种规则编码。给定码率，码长N=10的(3,6)规则LDPC码，其校验矩阵如式（2-1）所示。

这里，校验矩阵H包含5行10列，每一行对应一个校验关系，称为校验节点，每一列对应一个编码比特，称为变量节点。(3,6)是指校验矩阵H的每一列含有3个1，每一行含有6个1，即列重为3，行重为6，行重与列重的分布相同，只是1的位置不同。只要码长充分长，则行重与列重显著小于码长N与信息位长度K，因此 H具有稀疏性。需要指出的是LDPC码构造具有随机性，只要在校验矩阵中随机分布的1的位置满足行重与列重要求即可，这样得到的是一组码字集合，而并非单个编码约束关系，并且，校验矩阵不严格要求满秩。

上述(3,6)规则LDPC码的校验矩阵可表示为Tanner图，如图2-1所示。

图2-1中含有10个变量节点，分别对应校验矩阵的一列；含有5个校验节点，分别对应校验矩阵的一行。集合 表示第i个变量节点连接的校验节点集合，集合表示第 j个校验节点连接的变量节点集合。例如，对应式（2-1）所示校验矩阵的第一列，对应校验矩阵的第2行。

校验矩阵的行重对应变量节点的连边数，称为变量节点度分布；列重对应校验节点度分布。对比式（2-1）与图2-1的Tanner图，可以发现二者是一一对应的。Tanner图中的环与式（2-1）中的1构成的连接关系完全对应。例如，图2-1中虚线构成了长度为4的环（v2→c3→v4→c1→v2）对应式（2-1）中含有4个1的虚线环。

定义2.1 Tanner 图中一条闭环路径的长度定义为环长，在所有闭环中，长度最小的环长称为Tanner图的围长。

一般地，对于(N,K)规则的LDPC码，行重与列重分别为dc 与dv，我们通常称这样的LDPC码为(dv,dc)码，它的行重与列重满足关系式（2-2）。

这样，对应的 Tanner 图可表示为，其中，V是变量节点集合，节点数满足;C是校验节点集合，节点数满足;ε是边集合，边数满足。进一步地，(dv,dc)码的码率可表示为

上述概念可以进一步推广到不规则 LDPC 码，其中，dc 为最大行重，dv为最大列重。

定义2.2 Tanner图的变量节点与校验节点的度分布生成函数为

其中，λi与ρi为度分布系数，表示度为i的节点连边数占总边数的比例。进一步地，可以定义变量节点与校验节点的度分布倒数的均值分别为

由于总边数相等，因此有

由此，给定度分布(λ, )ρ，非规则LDPC码的码率为

本质上，LDPC码的设计符合信道编码定理中随机编码的思想。Tanner图中变量节点与校验节点之间的连接关系具有随机性，我们可以把度分布系数λi与ρj看作变量节点与校验节点连边的概率。因此，Tanner图实际上是符合度分布要求的随机图，变量节点与校验节点之间的连边关系也可以看作一种交织操作。只要码长充分长，Tanner图的规模充分大，这种随机连接就可以反映随机编码特征，暗合了信道编码定理证明的假设：（1）码长无限长；（2）随机化编码。因此，LDPC码与Turbo码在结构设计上，具有类似的伪随机编码特征。